undefined

Фигуры, симметричные относительно прямой. Осевая симметрия и её свойства

План урока

Фигуры, симметричные относительно прямой
Осевая симметрия и её свойства

Цели урока

Знать понятие осевой симметрии
Знать свойства осевой симметрии
Уметь находить ось симметрии у некоторых фигур
Уметь строить точку, симметричную данной относительно прямой
Уметь строить фигуры, симметричные данным относительно прямой

Разминка

Что такое серединный перпендикуляр к отрезку?
Какой треугольник называется равнобедренным?
Назовите свойства равнобедренного треугольника.

Фигуры, симметричные относительно прямой

Рис. 1. Точка, симметричная данной, относительно прямой

Пусть на плоскости зафиксирована прямая $l$ и отмечена произвольная точка $X$ (рис. 1). Проведём из точки $X$ перпендикуляр $X O$ к прямой $l$ и отложим на луче $X O$ отрезок $O X^{'}$ , равный отрезку $X O$ . Мы получили точку $X^{'}$ , симметричную точке $X$ относительно прямой $l$ .

Точки $X$ и $X^{'}$ называются симметричными относительно прямой $l$ , если эта прямая перпендикулярна отрезку $X X^{'}$ и проходит через его середину.

Рис. 2. Симметрия относительно прямой

На рисунке 2 точки $B$ и $B_{1}$ , $C$ и $C_{1}$ симметричны относительно прямой $a$ , а точка $A$ симметрична самой себе относительно этой прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$ , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой $a$ также принадлежит этой фигуре. В этом случае прямая $a$ называется осью симметрии фигуры и говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Рассмотрим некоторые фигуры, обладающие осевой симметрией. Например, равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник – три оси симметрии (рис. 3). У неразвёрнутого угла одна ось симметрии – прямая, на которой расположена биссектриса угла. У окружности бесконечно много осей симметрии. Все они проходят через центр окружности. У прямоугольника две оси симметрии. А квадрат имеет четыре оси симметрии.

Рис. 3. Примеры фигур, имеющих ось симметрии

Рис. 4

Многие предметы окружающего нас мира имеют ось симметрии. Например, многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля (рис. 4).

Рис. 5

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике и быту (рис. 5). В большинстве случаев симметричны относительно оси узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Данная прямая называется осью симметрии этих фигур.

Рис. 6. Фигуры, симметричные относительно прямой

На рисунке 6 четырёхугольники $A B C D$ и $M N C K$ симметричны относительно прямой $k$ .

Осевая симметрия и её свойства

Если на плоскости есть некоторая прямая $k$ , то каждой точке $A$ плоскости симметрична только одна точка $A_{1}$ . Говорят, что прямая $k$ задаёт на плоскости осевую симметрию с осью $k$ . Для любой фигуры существует симметричная ей фигура относительно оси $k$ . В дальнейшем будет доказано, что отрезку симметричен отрезок,
прямой – прямая, треугольнику – равный ему треугольник и т. д.

Давайте рассмотрим, какими свойствами обладает осевая симметрия.

Свойство 1

Если две прямые $a$ и $a_{1}$ симметричны относительно оси $k$ , то они либо параллельны, либо их точка пересечения лежит на оси симметрии $k$ .

Рис. 7

Если прямая $a$ пересекает ось $k$ в точке $B$
(рис. 7), то точка $B$ симметрична самой себе, а также симметрична какой-нибудь точке на прямой $a_{1}$ . Следовательно, прямая $a_{1}$ также пересекает ось $k$ в точке $B$ .

Свойство 2

Расстояние между точками $A$ и $B$ равно расстоянию между симметричными точками $A_{1}$ и $B_{1}$ .

Рис. 8

Рассмотрим две точки $A$ и $B$ . Пусть точки $A_{1}$ и $B_{1}$ симметричные им точки относительно прямой $k$ (рис. 8).

Пусть точка $D$ середина отрезка $A A_{1}$ , точка $C$ середина отрезка $B B_{1}$ . Точки $D$ и $C$ лежат на оси симметрии $k$ . Рассмотрим треугольник $B D B_{1}$ . В нём $D C$ является медианой и высотой, следовательно, треугольник $B D B_{1}$ равнобедренный. Также $D C$ будет и биссектрисой треугольника $B D B_{1}$ . Следовательно, углы $A D B$ и $A_{1} D B_{1}$ равны. Тогда треугольники $A D B$ и $A_{1} D B_{1}$ равны (по двум сторонам и углу между ними), поэтому равны их соответственные стороны $A B$ и $A_{1} B_{1}$ . Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ равно расстоянию между симметричными точками $A_{1}$ и $B_{1}$ , что и требовалось доказать.

Рис. 9

Рассмотрите самостоятельно другие случаи расположения точек $A$ , $B$ и $A_{1}$ , $B_{1}$ (рис. 9).

Свойства симметрии часто используются в геометрии при доказательстве теорем и решении задач.

Упражнение 1

Какие из фигур на рис. 10 имеют оси симметрии? Сколько осей симметрии имеет каждая фигура?

Рис. 10

Контрольные вопросы

1. Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

2. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

3. Какие две фигуры называются симметричными относительно данной прямой?

4. Как построить точку, симметричную данной, относительно заданной оси симметрии?

Ответы

Упражнение 1

а – бесконечно много; б – три; в – две; г – шесть; е – шесть; ж – одна.

Конспект урока: Фигуры, симметричные относительно прямой. Осевая симметрия и её свойства

Общие геометрические сведения