- Действия с обеими частями уравнения.
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.
- Знать правила выполнения действий над обеими частями уравнения, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
- Уметь решать уравнения.
- Что такое коэффициент?
- Как складывать, вычитать числа с разными знаками? С одинаковыми знаками?
- Как умножать и делить числа, имеющие разные знаки? Одинаковые знаки?
Действия с обеими частями уравнения
В начальной школе вы уже научились решать уравнения, в которых неизвестное может стоять на месте слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делителя или делимого. Сегодня вы научитесь решать уравнения, где компоненты действий представляют собой выражения, а неизвестное может стоять сразу в обеих частях уравнения.
1. Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
$a = b , a + c = b + c ;$
$a = b , a – c = b – c ;$
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
$a = b , a \cdot c = b \cdot c ; c \neq 0 ;$
$a = b , a : c = b : c ; c \neq 0 .$
Чтобы показать, что арифметическое действие выполняется над обеими частями уравнения, само действие записывается за вертикальной чертой после уравнения:
$2 x - 4 = 3 x + 5 | + 5$
$2 x - 4 + 5 = 3 x + 5 + 5$
$2 x + 1 = 3 x + 10$
С помощью прибавления или вычитания можно решить подобное уравнение:
$x - 5 = 14 | + 5$
$x = 19 .$
Если перед неизвестным стоит коэффициент, можно использовать деление обеих частей на коэффициент:
$3 x = 12 | : 3$
$x = 4 .$
Таким образом, строка решения $x = 12 : 3$ опускается.
Такой прием используется для упрощения записи решения уравнения.
При решении уравнений, в которых коэффициент представляет собой дробь, удобно использовать умножение обеих частей уравнения:
$\frac{1}{4} x = 2,3 | \cdot 4$
$x = 9,2 .$
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую
Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
Рассмотрим уравнение $3 x + 8 = 4 x - 2,5$
Перенесем слагаемое $4 x$ из правой части в левую часть, а слагаемое $8$ — из левой в правую часть, изменив их знаки на противоположные:
$3 x - 4 x = - 2,5 - 8 .$
Приведем подобные слагаемые:
$- x = - 10,5$
Разделим обе части на коэффициент перед неизвестным $x$:
$- x = - 10,5 | : ( - 1 )$
$x = 10,5$
Пример 1
Решите уравнения:
1) $\frac{5}{x + 1,4} = \frac{7}{x - 2,2}$;
2) $- \frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{x}{3}$.
Решение
1) $\frac{5}{x + 1,4} = \frac{7}{x - 2,2}$.
Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции:
$5 ( x - 2,2 ) = 7 ( x + 1,4 )$.
Применим к полученному выражению распределительное свойство умножения:
$5 x - 11 = 7 x + 9,8$.
Соберем слагаемые с переменной в левой части, без переменной — в правой, не забывая при переносе менять знаки выражений на противоположные:
$5 x - 7 x = 9,8 + 11$.
Решим полученное уравнение:
$- 2 x = 20,8$,
$x = - 10,4$.
2) $- \frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{x}{3}$.
Умножим обе части уравнения на НОК (5; 2; 3) = 30.
$- \frac{30 \cdot 2 x}{5} - \frac{30}{2} = - \frac{30 x}{3}$;
$- 12 x - 15 = - 10 x$,
$- 12 x + 10 x = 15$,
$- 2 x = 15$,
$x = - 7,5$.
Ответ: 1) -10,4; 2) -7,5.
Пример 2
При каком значении переменной $x$ значение выражения $3,2 ( 0,5 - 6 x )$ на 1,4 меньше значения выражения $- 2 ( 5 x - 4 )$.
Решение
Составим уравнение по условию задания:
$3,2 ( 0,5 - 6 x ) + 1,4 = - 2 ( 5 x - 4 )$.
Раскроем скобки, перенесем слагаемые с переменной в левую часть, без переменной — в правую, поменяв знаки выражений на противоположные при переносе, решим уравнение:
$1,6 - 19,2 x + 1,4 = - 10 x + 8$,
$- 19,2 x + 10 x = 8 - 1,6 - 1,4$,
$- 9,2 x = 5$.
$x = - \frac{25}{46}$.
Ответ: $- \frac{25}{46}$.
Упражнения
1. Решите уравнение:
1) 6x = 28 – x; 2) 9x – 26 = 30 – 5x;
3) 7 – 3x = 6x – 56; 4) 0,9x – 7,4 = – 0,4x +4,3;
2. Найдите корень уравнения:
1) 5(x – 4) = x + 8; 2) 9 – 7(x + 3) = 5 – 6x;
3) (7x + 9) – (11x – 7) = 8.
Контрольные вопросы
1. По какому правилу переносят слагаемые из одной части уравнения в другую?
2. Можно ли умножить обе части уравнения на нуль?
3. Какие действия можно использовать в обеих частях уравнения одновременно, чтобы корни уравнения остались прежними? Какое условие должно быть соблюдено?
1. 1) 4; 2) 4; 3) 7; 4) 9.
2. 1) 7; 2) – 17; 3) 2.
