Конспект урока: Степень с рациональным и действительным показателями

Степень с рациональным показателем

Начиная с 7-8 класса, мы умеем находить значение выражения $a^{n}$ с любым целым показателем n. Вспомним как это:

1. Если $n = 0 ,$ то $a^{0} = 1$ $( a \neq 0 )$.
2. Если $n = 1 ,$ то $a^{1} = a$.
3. Если $n \in \left\{\right. 2 ; 3 ; 4 ; \ldots , \left.\right\}$, то $a^{n} = a \times a \times a \times \ldots \times a$  (a умножают на себя n раз).
4. Если $n \in N , a \neq 0 ,$ то $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$.

Но что делать в том случае, если показатель степени не целое число, а рациональное? Перед математиками вновь стала проблема расширения понятия степени. Пусть, например, нужно возвести $3^{\frac{3}{4}}$ в степень 4. Как это сделать? Было бы хорошо, если бы привычные свойства степени работали и в этом случае, т.е.

  $\left( 3^{\frac{3}{4}} \right)^{4} = 3^{3}$          (1)

(поскольку $\frac{3}{4} \times 4 = 3$). Попробуем доказать это равенство.

Пусть $a = 3^{\frac{3}{4}}$, тогда (1) пример вид $a^{4} = 3^{3}$, значит, $a = \sqrt[4]{3^{3}}$. Получили, что

$3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^{3}}$

Рассуждая аналогичным образом, можно любое выражение $a^{\frac{m}{n}}$ представить в виде $\sqrt[n]{a^{m}}$.

Напомним, что любое рациональное число r это дробь вида $\frac{m}{n}$, где $m \in Z , n \in N .$

Тогда для любого рационального r:

Если n – натуральное число, $\mathbf{\mathit{n}} \geq 2 ,$ m – целое число, то при $\mathbf{\mathit{a}} > 0$справедливо равенство:

                                      $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ (2)                                 

Если $r = \frac{m}{n} > 0$, то формула (2) имеет место и в случае $a = 0$ причем $\sqrt[n]{0^{m}} = 0$. Принято считать, при $r > 0$ верно $0^{r} = 0$.

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть $p \in Q , q \in Q , a > 0 , b > 0$

1. $a^{p} a^{q} = a^{p + q}$;
2. $a^{p} \div a^{q} = a^{p - q}$;
3. $\left( a^{p} \right)^{q} = a^{p \times q}$;
4. $\left( a b \right)^{p} = a^{p} b^{p}$;
5. $\left( \frac{a}{b} \right)^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$.

Вычислить: 

а) $\left( 2 \frac{4}{5} \right)^{- 2}$;

б) $- 4 \times 81^{\frac{1}{4}}$;

в) $\left( 125^{- \frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{\frac{1}{3}} - 3 \right)^{- \frac{1}{2}}$;

г) $\left( 3^{0,5} - 5^{0,5} \right)^{2} : ( ( 2 - 15^{0,25} ) ( 2 + 15^{0,25} ) )$

Решение

а) $\left( 2 \frac{4}{5} \right)^{- 2} = \left( \frac{14}{5} \right)^{- 2} = \left( \frac{5}{14} \right)^{2} = \frac{25}{196}$;

б) $- 4 \times 81^{\frac{1}{4}} = - 4 \times 3 = - 12$;

в) $\left( 125^{- \frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{\frac{1}{3}} - 3 \right)^{- \frac{1}{2}} = ( \left(\left( 5^{3} \right)^{- \frac{2}{3}} - 4 + 7 - 3 \right)^{- \frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{25} \right)^{- \frac{1}{2}} = 5$;

г) $\left( 3^{0,5} - 5^{0,5} \right)^{2} : ( ( 2 - 15^{0,25} ) ( 2 + 15^{0,25} ) ) = \frac{3 - 2 \times 15^{0,5} + 5}{( 2 - 15^{0,25} ) ( 2 + 15^{0,25} )} = \frac{8 - 2 \times 15^{0,5}}{4 - 15^{0,5}} =$

$= \frac{2 ( 4 - 15^{0,5} )}{4 - 15^{0,5}} = 2$

Ответ: а) $\frac{25}{196}$;   б) -12;       в) 5;      г) 2.

Вычислить:

а) $4^{- 3 \frac{1}{2}}$;

б) $2^{- 3} \times 64^{\frac{1}{3}}$;

в) $\left( 16^{\frac{1}{2}} - \left( \frac{1}{16} \right)^{- \frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{2} \right)^{- 4} \right)^{- 2}$;

г) $( 16^{- 0,25} - 3^{- 0,5} ) ( 16^{- 0,25} + \left( 3^{\frac{3}{2}} \right)^{- \frac{1}{3}} )$

Представить выражение в виде степени с основанием a.
 

а) $a^{\frac{1}{8}} \times \sqrt[4]{a^{2}}$;

б) $\left( \sqrt[5]{a^{3}} \right)^{10}$;

в) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{5}}}$.

Решение

а) $a^{\frac{1}{8}} \times \sqrt[4]{a^{2}} = a^{\frac{1}{8}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{8}}$;

б) $\left( \sqrt[5]{a^{3}} \right)^{10} = \left( a^{\frac{3}{5}} \right)^{10} = a^{6}$;

в) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{5}}} = \sqrt[5]{a^{\frac{5}{3}}} = a^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: а) $a^{\frac{5}{8}}$;           б) $a^{6}$;          в) $a^{\frac{1}{3}}$.

Представить выражение в виде степени с основанием a.

а) $a^{\frac{1}{16}} \times \sqrt[4]{a}$;

б) $\left( \sqrt[7]{a^{2}} \right)^{21}$;

в) $\sqrt[9]{\sqrt[6]{a^{3}}}$.

Упростить выражение $\frac{a - 1}{a^{\frac{3}{4}} + \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \times a^{\frac{1}{4}}$.

Решение

$\frac{a - 1}{a^{\frac{3}{4}} + \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \times a^{\frac{1}{4}} = \frac{( a^{\frac{1}{2}} - 1 ) ( a^{\frac{1}{2}} + 1 ) ( a^{\frac{1}{4}} )^{2} ( a^{\frac{1}{4}} + 1 )}{a^{\frac{1}{2}} ( a^{\frac{1}{4}} + 1 ) ( a^{\frac{1}{2}} + 1 )} = a^{\frac{1}{2}} - 1$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$.

Упростить выражение $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{( a^{2} \left( a - b \right)^{2} )^{\frac{1}{3}}} \times \frac{( a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} )}{\left( a - b \right)^{\frac{1}{3}}} \times a^{\frac{2}{3}}$.

Степень с действительным показателем

Пусть $a > 1 , x_{1} < x_{2} .$ Тогда $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$.

Пусть $0 < a < 1 , x_{1} < x_{2}$. Тогда $a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$.

Пусть $a > 0 , a \neq 1 , a^{x_{1}} = a^{x_{2}}$. Тогда $x_{1} = x_{2}$.

Пусть $0 < x_{1} < x_{2}$. Тогда если  $p > 0 ,$ то $\left(x_{1}\right)^{p} < \left(x_{2}\right)^{p}$, а если  $p < 0 ,$ то $\left(x_{1}\right)^{p} > \left(x_{2}\right)^{p}$.

Следствие 3 иными словами можно сказать так: «если обе положительные части неравенства возвести в положительную степень, то знак неравенства не меняется; если возвести в отрицательную степень, знак неравенства поменяется на противоположный».

Выполнить действие:

  а) $\left( a^{\sqrt{5}} \right)^{\sqrt{5}}$;

  б) $\frac{a^{\sqrt{2}} ( a^{\sqrt{2} + 1} )}{a^{1 - \sqrt{2}}}$.

Решение

а) $\left( a^{\sqrt{5}} \right)^{\sqrt{5}} = a^{5}$;

б) $\frac{a^{\sqrt{2}} \cdot a^{\sqrt{2} + 1}}{a^{1 - \sqrt{2}}} = \frac{a^{2 \sqrt{2} + 1}}{a^{1 - \sqrt{2}}} = a^{3 \sqrt{2}}$.

Ответ: а) $a^{5}$;           б) $a^{3 \sqrt{2}}$.

Выполнить действие:

а) $\left( a^{1 - \sqrt{7}} \right)^{\sqrt{7} + 1}$;

б) $\frac{a^{\sqrt{11}} \cdot a^{\sqrt{11} - 1}}{a^{\sqrt{11} + 1}}$.

Сравнить: 

а) $8,4^{- 3,4} \text{и} 8,4^{- 3 \frac{1}{3}} ;$

б) $\left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{3}} \text{и} \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{5}}$;

в) $3^{- \sqrt{7}} \text{и} 3^{- \sqrt{2}}$;

г) $2,04^{0,3} \text{и} 2,041^{0,3}$;

д) $17^{- 2,4} \text{и} 19^{- 2,4}$.

Решение

а) $8,4^{- 3,4}$и $8,4^{- 3 \frac{1}{3}}$

Сравним показатели степеней: $- 3,4 < - 3 \frac{1}{3}$. Так как основание 8,4 больше 1, то $8,4^{- 3,4} < 8,4^{- 3 \frac{1}{3}} ;$ 
 

б) $\left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{3}}$и $\left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{5}}$

$\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$, основание $\frac{1}{4}$лежит в промежутке $( 0 ; 1 )$, тогда $\left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{3}} < \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{5}}$.
 

в) $3^{- \sqrt{7}}$и $3^{- \sqrt{2}}$

$- \sqrt{7} < - \sqrt{2}$, основание 3 больше 1, тогда  $3^{- \sqrt{7}} < 3^{- \sqrt{2}}$.
 

г) $2,04^{0,3}$и $2,041^{0,3}$

Показатели степеней одинаковые, положительные, $2,04 < 2,041$, тогда $2,04^{0,3} < 2,041^{0,3}$.
 

д) $17^{- 2,4}$ и $19^{- 2,4}$

Показатели степеней одинаковые, отрицательные, $17 < 19$, тогда $17^{- 2,4} > 19^{- 2,4}$.

Ответ: 

а) $8,4^{- 3,4} < 8,4^{- 3 \frac{1}{3}}$;                    

б) $\left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{3}} < \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{5}}$;

в) $3^{- \sqrt{7}} < 3^{- \sqrt{2}}$;

г) $2,04^{0,3} < 2,041^{0,3}$;      

д) $17^{- 2,4} > 19^{- 2,4}$.

Сравнить:

а) $6,3^{- 1 \frac{1}{4}} \text{и} 6,3^{- 1,5}$;

б) $\left( \frac{1}{8} \right)^{0,8} \text{и} \left( \frac{1}{8} \right)^{0,9}$;

в) $10^{- \sqrt{3} } \text{и} 10^{- \sqrt{13}}$;

г) $5,08^{0,9} \text{и} 5,083^{0,9}$.

Итак:
 

1. Если $m \in Z , n \in N$, то

• $a^{n} = a \times a \times a \times \ldots \times a$ (a умножают на себя n раз).
• $a^{1} = a$
• $a^{0} = 1 ( a \neq 0 )$
• $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} ( a \neq 0 )$
• $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} ( a > 0 , n \geq 2 )$

2. Если $r > 0 , \text{т} o 0^{r} = 0$.

3. Пусть $a > 0 , b > 0 , x , x_{1} , x_{2} \in R$

• $a^{x} > 0$
• если $a > 0 , x > 0 , \text{т} o a^{x} > 1$
• если $a > 1 , x_{1} < x_{2} , \text{т} o a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$
• если $0 < a < 1 , x_{1} < x_{2} , \text{т} o a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$
• если $a^{x_{1}} = a^{x_{2}} , a \neq 1 , \text{т} o x_{1} = x_{2}$
• если $0 < x_{1} < x_{2} , p > 0 , \text{т} o \left(x_{1}\right)^{p} < \left(x_{2}\right)^{p}$
• если $0 < x_{1} < x_{2} , p < 0 , \text{т} o \left(x_{1}\right)^{p} > \left(x_{2}\right)^{p}$
• $a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{x_{1} + x_{2}}$;
• $a^{x_{1}} \div a^{x_{2}} = a^{x_{1} - x_{2}}$;
• $\left( a^{x_{1}} \right)^{x_{2}} = a^{x_{1} x_{2}}$;
• $\left( a b \right)^{x} = a^{x} b^{x}$;
• $\left( \frac{a}{b} \right)^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}} .$

1. Как вычислить $a^{\frac{m}{n}}$, если $\frac{m}{n}$ – рациональное число и a – неотрицательное число?
2. Как вычислить $a^{- \frac{m}{n}}$, если $\frac{m}{n}$ – рациональное число и a – положительное число?
3. Какая область допустимых значений выражения $\left( x - 5 \right)^{\frac{2}{5}}$?
4. Какая область допустимых значений выражения $\left( x + 9 \right)^{- \frac{1}{7}}$?