Конспект урока: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Вспомним определение и основные формулы для геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

                                                                $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$            (1)

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

                                                               $S_{n} = \begin{cases} \frac{b_{1} ( 1 - q^{n} )}{1 - q} , \text{если} q \neq 1 \\ b_{1} n , \text{если} q = 1 \end{cases}$    (2)                         

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1.

Поделим каждую сторону на две равные части и соединим полученные точки. Получим второй равносторонний треугольник внутри первого со стороной, равной $\frac{1}{2}$. Вновь поделим пополам каждую из сторон и соединим полученные точки – равносторонний треугольник со стороной $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^{2}}$, следующий треугольник со стороной $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}}$, и т.д. Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{2} ,$ заметим, что $q < 1$.  Видим, что с ростом n, длины сторон треугольников уменьшаются и приближаются к нулю: $b_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Такая прогрессия будет бесконечно убывающей.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше 1.

Выяснить, является ли геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена члена как $b_{n} = 5 \left( - 4 \right)^{- n}$, бесконечно убывающей.

Решение
 

Определим, будет ли модуль знаменателя этой прогрессии меньше 1. 

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{5 \left( - 4 \right)^{- ( n + 1 )}}{5 \left( - 4 \right)^{- n}} = \frac{5 \left( - 4 \right)^{- n} \left( - 4 \right)^{- 1}}{5 \left( - 4 \right)^{- n}} = \left( - 4 \right)^{- 1} = - \frac{1}{4}$. 
 

$| q | = | - \frac{1}{4} | < 1$, значит, по определению, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: является.

Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена члена $x_{n} = \left(\frac{4}{5}\right)^{2 n}$

Выяснить, является ли последовательность, заданная формулой n-го члена как $b_{n} = 5^{n - 2} \times 11^{3 - n}$, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

                                                            $S = \frac{b_{1}}{1 - q}$              (3)                                                       

Эта формула выводится из формулы (2), из той части, где $q \neq 1 :$

$S_{n} = \frac{b_{1} ( 1 - q^{n} )}{1 - q} = \frac{b_{1}}{1 - q} - \frac{b_{1} q^{n}}{1 - q} .$

$| q | < 1$, значит $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim q^{n}} = 0 .$

$S = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{n} = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( \frac{b_{1}}{1 - q} - \frac{b_{1} q^{n}}{1 - q} ) = \frac{b_{1}}{1 - q}$

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $b_{4} = \frac{4}{5} , \\ b_{7} = \frac{1}{10}$.

Решение
 

Найдем  $b_{1} \text{и} q$, используя формулу (1). Так как $b_{4} = \frac{4}{5} , b_{7} = \frac{1}{10}$, составим систему уравнений

                      $\begin{cases} b_{4} = b_{1} q^{3} \\ b_{7} = b_{1} q^{6} \end{cases}$                                      $\begin{cases} \frac{4}{5} = b_{1} q^{3} \\ \frac{1}{10} = b_{1} q^{6} \end{cases}$  

Разделим второе уравнение системы на первое, получим  $q^{3} = \frac{1}{10} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{8} , \text{тогда} q = \frac{1}{2}$.
 

Из первого уравнения системы выразим $b_{1}$ и подставим найденное значение q:
 

$b_{1} = \frac{\frac{4}{5}}{q^{3}} = \frac{4}{5} \div \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{32}{5}$
 

По формуле (3) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
 

$S = \frac{32}{5} \div ( 1 - \frac{1}{2} ) = \frac{64}{5} = 12,8$
 

Ответ: 12,8.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $\frac{1}{3} ; - \frac{1}{24} ; \frac{1}{192} ; \ldots$
 

б) $b_{4} = \frac{2}{3} ; b_{7} = \frac{2}{81}$

Десятичную периодическую дробь можно представить в виде суммы конечной десятичной дроби и суммы бесконечно убывающей десятичной дроби.

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 2,2(3) в виде обыкновенной.

Решение

2,2(3)=2,2333333333333..

Это число можно записать в следующем виде:

                                                  $2,2 + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{10000} . . . . . . .$                  (4)                 

Члены, начиная со второго, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с $b_{1} = \frac{3}{100} \text{и} q = \frac{3}{1000} \div \frac{3}{100} = \frac{1}{10}$. 

Найдем сумму этой прогрессии по формуле (3):

 $S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{3}{100} \div ( 1 - \frac{1}{10} ) = \frac{3}{100} \div \frac{9}{10} = \frac{1}{30}$.
 

Тогда сумму (4) можно представить в виде 2,2+$\frac{1}{30} = 2 \frac{7}{30}$.

Ответ: $2 \frac{7}{30}$.

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

а) 3,(4);           б) 6,03(2);           в) 5,28(35).

Вычислить:

а) $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{4 - 3^{n}}{3^{n}}$;

б) $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{5^{n + 2} + 7}{5^{n}}$;

в) $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(7^{n} + 3\right)^{2}}{7^{2 n}}$.

а) $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{4 - 3^{n}}{3^{n}} = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( \frac{4}{3^{n}} - 1 ) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( 4 \left(\frac{1}{3}\right)^{n} - 1 ) = - 1$;

б) $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{5^{n + 2} + 7}{5^{n}} = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( \frac{5^{n} \times 25}{5^{n}} + 7 \left(\frac{1}{5}\right)^{n} ) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( 25 + 7 \left(\frac{1}{5}\right)^{n} ) = 25$;

в) $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(7^{n} + 3\right)^{2}}{7^{2 n}} = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{7^{2 n} + 6 \times 7^{n } + 9}{7^{2 n}} = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( 1 + \frac{6}{7^{n}} + \frac{9}{7^{2 n}} ) = 1$.

Ответ: а) -1;          б) 25;                    в) 1.   

Итак:
 

1. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_{1}}{1 - q}$.
3. $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x^{n} = 0 , \text{если} | x | < 1$

1. Дана последовательность, заданная формулой n-го члена. Опишите алгоритм, по которому вы будете определять является ли эта последовательность геометрической прогрессией, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
2. Какие вы знаете способы перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. Опишите их.