- Вывод формулы средней мощности переменного тока за период колебаний
- Решение задач
- уметь находить мгновенную и среднюю мощность переменного тока
- знать, что такое коэффициент мощности
- уметь решать задачи по данной теме
- Какой ток называют переменным?
- Чему равна ЭДС индукции в цепи переменного тока?
- Можно ли использовать формулы для расчёта работы и мощности постоянного тока для переменного? Почему?
Вывод формулы средней мощности переменного тока за период колебаний
Рассмотрим цепь переменного тока. Пусть закон изменения напряжения между выводами источника имеет вид
$U = U_{m} \cdot \cos ( \omega \cdot t )$ (1).
В общем случае колебания напряжения между выводами источника по фазе могут не совпадать с колебаниями силы тока. Поэтому закон изменения силы тока в этой цепи может быть записан в виде
$I = I_{m} \cdot \cos ( \omega \cdot t + \varphi )$ (2).
Из формул (1) и (2) следует, что мгновенная мощность, потребляемая цепью, равна:
$P = I \cdot U = I_{m} \cdot U_{m} \cdot \cos ( \omega \cdot t ) \cdot \cos ( \omega \cdot t + \varphi )$ (3).
Из формулы (3) следует, что мгновенная мощность с течением времени непрерывно изменяется. Определим среднюю мощность за период колебаний. Для этого, используя известную из тригонометрии формулу для произведения косинусов, преобразуем формулу (3) к виду
$P = \frac{I_{m} \cdot U_{m}}{2} \cdot \left[\cos ( 2 \omega \cdot t + \varphi ) + \cos \varphi\right]$ (4).
Поскольку среднее значение функции $\cos ( 2 \omega \cdot t + \varphi )$ за период равно нулю, то средняя за период мощность $\bar{P}$, потребляемая цепью, может быть рассчитана по формуле
$\bar{P} = \frac{I_{m} \cdot U_{m}}{2} \cdot \cos \varphi$ (5).
Среднюю за период мощность $\bar{P}$ можно вычислить и через действующие значения силы тока и напряжения:
$\bar{P} = I_{\text{д}} \cdot U_{\text{д}} \cdot \cos \varphi$ (6).
Входящую в формулы (5) и (6) величину $\cos \varphi$ называют коэффициентом мощности.
Отметим, что рассматриваемые при решении практических задач промежутки времени существенно превышают период колебаний в цепи переменного тока. Поэтому обычно среднюю за такие промежутки времени мощность считают равной средней за период мощности. При этом используют термин «средняя мощность переменного тока».
Из формул (5) и (6) следует, что средняя мощность переменного тока зависит от разности фаз колебаний напряжения и силы тока. В промышленных сетях сдвиг фаз, как правило, обусловлен включением в них устройств, имеющих большие индуктивные сопротивления. К таким устройствам относятся, например, электродвигатели и трансформаторы, работающие с неполной нагрузкой. Для уменьшения сдвига фаз, а следовательно, увеличения полезной мощности, к таким устройствам часто подключают конденсаторы. Для промышленных предприятий наименьший допустимый коэффициент мощности равен $0,85$.
Решение задач
Упражнение 1
1. В результате включения в цепь переменного тока конденсатора и резистора сдвиг фаз между колебаниями напряжения и силы тока уменьшился от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{6}$. При этом действующие значения силы тока и напряжения не изменились. Определите: а) во сколько раз изменился коэффициент мощности; б) на сколько процентов изменилась средняя потребляемая мощность.
2. В городскую сеть переменного тока с частотой $50 \text{Гц}$ и с амплитудным напряжением $311 B$ включены последовательно резистор с сопротивлением $157 \text{Ом}$ и катушка с индуктивностью $0,5 \text{Гн}$. Определите среднюю мощность, потребляемую этой цепью.
Контрольные вопросы
1. Как рассчитывают среднюю мощность переменного тока?
2. Что называют коэффициентом мощности?
3. Как можно увеличить коэффициент мощности?
Упражнение 1
1. а) $0,577$; б) $0,732$
2. $154 B$
