Конспект урока: Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания. Процессы при гармонических колебаниях в контуре

Определение электромагнитных колебаний

Колебания могут происходить не только в механических системах, но и в электромагнитных, например, в электрических цепях.

Все рассматриваемые электрические цепи будем считать удовлетворяющими условию квазистационарности. Это означает, что изменения силы тока во всех поперечных сечениях любого неразветвлённого участка цепи происходят одновременно и на одинаковую величину. Т. е. в любой момент времени силу тока через каждое такое сечение можно считать одинаковой. Условие квазистационарности можно считать выполненным, если длина $l$рассматриваемой электрической цепи много меньше $c \cdot t$, где $c$ — модуль скорости света в вакууме, а $t$ — промежуток времени, в течение которого происходит существенное изменение силы тока. Например, при частоте 50 Гц длина $l$ должна быть существенно меньше 6 · 10³ км. В этом случае можно считать, что изменяющееся с течением времени электрическое поле, которое порождает ток, распространяется по всей цепи практически мгновенно, т. е. существенно быстрее изменений этого поля. 

Колебательный контур

Свободные электромагнитные колебания происходят в электромагнитной системе только за счёт начального запаса энергии. 

Рис. 1. Колебательный контур

Рассмотрим пример простейшей электромагнитной колебательной системы — колебательный контур. Он состоит из соединённых в замкнутую цепь конденсатора и катушки индуктивности (рис. 1). 

Чтобы возникли электромагнитные колебания, переведём ключ в положение 1 (рис. 1) для зарядки конденсатора. На одной обкладке накопится положительный заряд, на другой отрицательный, между обкладками конденсатора накопится электрическая энергия.  

После этого переведём ключ в положение 2, переключив конденсатор на катушку. В результате образуется колебательный контур с начальным запасом энергии, равным энергии заряжённого конденсатора. Если к контуру подсоединить осциллограф, то он покажет, что в контуре возникают колебания. При этом зависимость напряжения от времени соответствует зависимости, характерной для затухающих колебаний.

Затухание колебаний объясняется уменьшением энергии контура с течением времени. Это уменьшение обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, при протекании по проводам тока в них, согласно закону Джоуля – Ленца, выделяется определённое количество теплоты. Во-вторых, создаваемые элементами контура электрическое и магнитное поля изменяются с течением времени, что, в свою очередь, приводит к излучению электромагнитных волн, которое уносит энергию.

Гармонические свободные колебания в контуре

Можно создать условия, при которых потери энергии в колебательном контуре будут пренебрежимо малы. Тогда свободные электромагнитные колебания в контуре будут гармоническими. Докажем это, используя энергетический подход.

Пусть начальный заряд конденсатора $q_{0} .$ Тогда запас энергии $W_{0}$ колебательной системы равен начальной энергии конденсатора:

$W_{0} = \frac{q_{0}^{2}}{2 C}$        (1).

$C$ — ёмкость конденсатора.

Заряжённый конденсатор после его подключения к катушке индуктивности начинает разряжаться через образовавшуюся цепь. Поэтому заряд конденсатора, а следовательно, и его энергия будут уменьшаться с течением времени. С другой стороны, при разрядке конденсатора в цепи течёт электрический ток. Этот ток создаёт магнитное поле. Следовательно, энергия магнитного поля станет отличной от нуля.

Пусть заряд конденсатора изменяется и к некоторому моменту времени $t$ становится равным $q$, а сила тока становится равной $I$. Тогда энергия магнитного поля, созданного током, будет равна

$W_{\text{магн}} = \frac{L \cdot I^{2}}{2}$     (2).

$L$ — индуктивность катушки контура.

Таким образом, энергия всей системы, складывающаяся из энергий электрического и магнитного полей, в произвольный момент времени $t$ равна

$W = W_{\text{эл}} + W_{\text{магн}} = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L \cdot I^{2}}{2}$   (3).

Если потери энергии колебательной системы пренебрежимо малы, то её энергия с течением времени остаётся неизменной, т. е. $W = W_{0} = c o n s t .$ Следовательно,

$\frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L \cdot I^{2}}{2} = W_{0}$     (4). 

Из выражения (4) следует, что по мере уменьшения энергии электрического поля энергия магнитного поля будет увеличиваться, и наоборот.                     

Вывод формулы Томсона для периода электромагнитных колебаний

Выясним, как связаны между собой заряд конденсатора и сила тока в контуре. Рассмотрим достаточно малый промежуток времени $\Delta t$, в течение которого силу тока $I$ в контуре можно считать постоянной. За этот промежуток времени $\Delta t$ заряд одной из пластин конденсатора увеличивается на $\Delta q = I \cdot \Delta t$. Соответственно, на такую по модулю величину уменьшается заряд другой пластины. Иначе говоря, изменение заряда $\Delta q$ за достаточно малое время $\Delta t$ и сила тока $I$ в контуре связаны соотношением

$I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$     (5).

Поскольку промежуток времени $\Delta t$ достаточно мал, т. е. стремится к нулю, соотношение (5) может быть записано в виде

$I = \underset{\Delta t \rightarrow 0}{l i m} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \overset{\cdot}{q}$     (6).

Полученный результат означает, что в любой момент времени сила тока в колебательном контуре равна производной по времени заряда пластины конденсатора.

Возьмём производные по времени от левой и правой частей уравнения (4). 
С учётом того, что $q ( t )$ и $I ( t )$ изменяются с течением времени, получаем

$\frac{1}{2 C} \cdot 2 q \cdot \overset{\cdot}{q} + \frac{L}{2} \cdot 2 I \cdot \overset{\cdot}{I} = 0$  (7).

Учитывая, что $I = \overset{\cdot}{q ,}$ а $\overset{\cdot}{I} = \overset{\cdot \cdot}{q} ,$ преобразуем уравнение (7) к виду

$\overset{\cdot \cdot}{q} + \frac{1}{L \cdot C} \cdot q = 0$   (8).

Уравнение (8) представляет собой с точноcтью до обозначений уравнение гармонических колебаний!

Циклическая частота этих колебаний $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} .$  

Период этих колебаний равен

$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$      (9).

Формулу (9) называют формулой Томсона в честь британского физика Уильяма Томсона.

Решение уравнения (8) может быть записано в виде

$q ( t ) = q_{m} \cdot \cos ( \omega \cdot t + \varphi_{0} ) = q_{m} \cdot \cos ( \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \cdot t + \varphi_{0} )$   (10).

Из уравнений (10) и (6) следует, что зависимость силы тока в контуре от времени имеет вид

$I ( t ) = \overset{\cdot}{q} = - q_{m} \cdot \omega \cdot \sin ( \omega \cdot t + \varphi_{0} ) = - \frac{q_{m}}{\sqrt{L \cdot C}} \cdot \sin ( \omega \cdot t + \varphi_{0} ) =$

$= - I_{m} \cdot \sin ( \omega \cdot t + \varphi_{0} ) ,$

где $I_{m}$ — амплитуда силы тока (11).

Отметим, что если в начальный момент времени $t = 0$ заряд конденсатора был равен $q_{0}$, а сила тока была равна нулю, то амплитуда колебаний заряда будет равна начальному заряду конденсатора $q_{\mathit{m}} = q_{0} ,$ а начальная фаза $\varphi_{0}$ в формулах (10) и (11) будет равна нулю.