Конспект урока: Квадратный трехчлен

Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители 

Мы уже говорили о необходимости уметь работать с разными выражениями, в частности, с многочленами. Это нужно для решения большого количества прикладных задач. Поэтому, сейчас мы поговорим о важном навыке работы с квадратным трёхчленом – разложении его на множители.

Вспомним, что квадратным трёхчленом называют многочлен вида $a x^{2} + b x + c$, где $x$ - переменная, $a$, $b$ и $c$ - числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$. При этом мы знаем, что корни квадратного трёхчлена совпадают с корнями квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$, а их количество зависит от значения дискриминанта $D = b^{2} - 4 a c$. Тогда можем представить квадратный трёхчлен в виде произведения согласно следующей теореме.

Докажем эту теорему. 

Вынесем за скобки в многочлене $a x^{2} + b x + c$ множитель $a$. 

Получим

$a x^{2} + b x + c = a ( x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} )$.

Так как корни квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ совпадают с корнями квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$, то по теореме Виета: 

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$, $\frac{b}{a} = - ( x_{1} + x_{2} )$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Подставляя выражения из теоремы Виета в $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}$, получим:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^{2} - ( x_{1} + x_{2} ) x + x_{1} x_{2}$

Теперь раскрываем скобки и группируем:

$x^{2} - ( x_{1} + x_{2} ) x + x_{1} x_{2} = x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2} = x ( x - x_{1} ) - x_{2} ( x - x_{1} ) =$

$= ( x - x_{1} ) ( x - x_{2} )$

Итог:

$a x^{2} + b x + c = a ( x - x_{1} ) ( x - x_{2} )$

Разложить на множители квадратный трёхчлен:

$3 x^{2} + x - 10$.

Решение

Решим уравнение $3 x^{2} + x - 10 = 0$.

$D = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot ( - 10 ) = 121$

$x_{1} = \frac{- 1 - 11}{6} = - 2$,  $x_{2} = \frac{- 1 + 11}{6} = \frac{5}{3}$

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

$3 x^{2} + x - 10 = 3 ( x - ( - 2 ) ) \left(x - \frac{5}{3}\right) = 3 ( x + 2 ) \left(x - \frac{5}{3}\right)$

Полученный результат можно записать иначе, умножив число $3$ на двучлен $x - \frac{5}{3}$. Получим:

$3 x^{2} + x - 10 = ( 3 x - 5 ) ( x + 2 )$

Ответ: $( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) .$

1. $x^{2} + x - 12$;
2. $5 x^{2} + 7 x + 2$;
3. $4 x^{2} - 13 x + 3$.

Мы сказали, что разложение возможно в случае, когда квадратный трёхчлен имеет корни. Другими словами, не всегда можно разложить квадратный трёхчлен на множители.

Докажем это. 

Пусть квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

$a x^{2} + b x + c = ( k x + m ) ( p x + q )$,

где $k$, $m$, $p$ и $q$- некоторые числа, причём $k \neq 0$ и $p \neq 0$. 

Произведение $( k x + m ) ( p x + q )$ обращается в нуль при $x = - \frac{m}{k}$ и $x = - \frac{q}{p}$. Следовательно, при этих значениях $x$ обращается в нуль и трёхчлен $a x^{2} + b x + c$, т.е. числа $- \frac{m}{k}$ и $- \frac{q}{p}$ являются его корнями. 

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трёхчлен корней не имеет.

Разложить на множители квадратный трёхчлен:

$9 x^{2} - 42 x + 49$.

Решение

Решим уравнение $9 x^{2} - 42 x + 49 = 0$.

$D = 42^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 49 = 0$

$x_{1} = x_{2} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 9 \left(x - \frac{7}{3}\right) \left(x - \frac{7}{3}\right) = 9 \left(x - \frac{7}{3}\right)^{2}$

Полученный результат можно записать иначе, если внести число $9$ в скобки $\left(x - \frac{7}{3}\right)^{2}$. Получим:

$9 x^{2} - 42 x + 49 = ( 3 x - 7 )^{2}$

Ответ: $( 3 x - 7 )^{2}$.

Проверьте, можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, и если можно, то разложите.

1. $4 x^{2} + 4 x + 1$;
2. $6 x^{2} + 7 x - 3$;
3. $x^{2} - 3 x + 11$.