Конспект урока: Последовательности

Последовательности

Знания о числовых последовательностях пришли к нам из глубокой древности и ныне необходимы для того, чтобы ориентироваться во многих жизненно важных процессах природы и общества. В жизни, в природе, в науке и технике большинство процессов происходят по определенному закону. Зная закономерность в изменении некоторой величины, с помощью законов последовательностей можно легко продолжить эту последовательность вперед и прогнозировать определенные результаты в будущем, либо, наоборот, узнать, что было в прошлом.

Важным понятием в математике является последовательность. Оно является ключевым для решения задач, связанных с прогнозированием законов, заданных определенным соотношением.

Примерами последовательностей являются:

• множество положительных чисел кратных $4$: $4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; . . .$;
• множество правильных дробей, в числителе которых $1$, а в знаменателе нечётные числа:

$\frac{1}{3} ; \frac{1}{5} ; \frac{1}{7} ; \frac{1}{9} ; \frac{1}{11} ; . . .$

Виды последовательностей

По количеству членов в последовательности их можно разделить на бесконечные и конечные. По виду изменения членов прогрессии существуют возрастающие, убывающие и стационарные последовательности.

Бесконечной называют последовательность, в которой количество членов бесконечно много, нет последнего. Например, бесконечными являются следующие последовательности:

• $1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; . . .$ — последовательность нечетных натуральных чисел;
• $2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; . . .$ — последовательность натуральных степеней числа $2$.

Конечная последовательность — это последовательность, содержащая конечное число членов, можно определить последний. Примерами конечной последовательности служат:

• $1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 8 ; 9$ — последовательность однозначных натуральных чисел;
• $\frac{1}{50} ; \frac{2}{50} ; \frac{3}{50} ; . . . ; \frac{49}{50}$ — последовательность правильных дробей со знаменателем, равным $50$.

Возрастающей называют последовательность, у которой каждый её член, начиная со второго, больше своего предыдущего. Любая последовательность из приведенных выше (примеры бесконечной и конечной последовательностей) является возрастающей.

Последовательность называется убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего. Например, $\frac{1}{3} ; \frac{1}{9} ; \frac{1}{27} ; \frac{1}{81} ; . . .$ — последовательность правильных дробей, числитель которых равен $1$, а знаменатель является натуральной степенью числа $3$.

Стационарная — это последовательность, все члены которой равны между собой. Например, $7 ; 7 ; 7 ; 7 ; . . .$.

Способы задания последовательности

Существует несколько способов задать последовательность. Одним из них мы уже пользуемся, т. к. с его помощью записывали примеры последовательностей. Этот способ задания последовательности называется способ в виде ряда.

Самый популярный способ задания последовательности в математике — аналитический способ. В этом случае используют формулу $n$-го члена последовательности, т. е. значение члена последовательности зависит от его порядкового номера. 

Найдите значения первых пяти членов последовательности, заданной формулой $a_{n} = 2 n - 3$.

Решение

Число $n$ — номер члена в последовательности, т. е. $n$ является натуральным числом.

Чтобы найти первые пять членов последовательности, необходимо в ее формулу $a_{n} = 2 n - 3$ вместо $n$ подставить числа $1,2 , 3,4$ и $5$. Получим

$a_{1} = - 1 , a_{2} = 1 , a_{3} = 3 , a_{4} = 5 , a_{5} = 7$.

Ответ: $a_{1} = - 1 , a_{2} = 1 , a_{3} = 3 , a_{4} = 5 , a_{5} = 7$.

Последовательность задана формулой $b_{n} = n^{2} - 2 n + 1$. Найдите:

1. $b_{3}$                2. $b_{10}$               3. $2 b_{5} + b_{8} - b_{12}$

Ещё один способ задания последовательности называется рекуррентным. В этом случае указывают первый член последовательности (или несколько первых членов) и формулу, выражающие любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

Найдите значения следующих пяти членов последовательности, для которой $x_{1} = 2$, $x_{2} = 3$ и для $n > 2$, $x_{n} = 2 x_{n - 1} + x_{n - 2}$. 

Решение

Найдем $x_{3} , x_{4} , x_{5} , x_{6}$ и $x_{7}$ используя формулу $x_{n} = 2 x_{n - 1} + x_{n - 2}$ и значения для первого и второго членов этой последовательности $( x_{1} = 2 , x_{2} = 3 )$:

$x_{3} = 2 \cdot x_{2} + x_{1} = 2 \cdot 3 + 2 = 8$,

$x_{4} = 2 \cdot x_{3} + x_{2} = 2 \cdot 8 + 3 = 19$,

$x_{5} = 2 \cdot x_{4} + x_{3} = 2 \cdot 19 + 8 = 46$,

$x_{6} = 2 \cdot x_{5} + x_{4} = 2 \cdot 46 + 19 = 111$,

$x_{7} = 2 \cdot x_{6} + x_{5} = 2 \cdot 111 + 46 = 268$.

Ответ: $8 ; 19 ; 46 ; 111 ; 268$.

Найдите значения следующих пяти членов последовательности, для которой  $x_{1} = 1 , x_{2} = 2$ и $x_{n} = 3 x_{n - 1} - x_{n - 2}$ при $n > 2$.

Упражнение 1

1. $4$.               2. $81$.              3. $- 40$.

Упражнение 2

1. $5 ; 13 ; 34 ; 89 ; 233$.