Конспект урока: Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона. Решение задач о движении взаимодействующих тел

Третий закон Ньютона: в инерциальной системе отсчёта два тела взаимодействуют с силами $\overrightarrow{F_{1}}$ и $\overrightarrow{F_{2}}$, равными по модулю, противоположными по направлению и лежащими вдоль одной прямой: $\overrightarrow{F_{1}} = - \overrightarrow{F_{2}}$.

Пример 1

На горизонтальном полу лифта лежит ящик массой 80 кг. Лифт начинает подниматься на верхний этаж с ускорением 0,2 м/с². Найти вес ящика при движении лифта.

Решение
 

1. В результате движения лифта система начнёт поступательное движение, поэтому ящик можно принять за материальную точку.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

2. Пусть ось ОХ направлена вправо, ось 
OY — вертикально вверх.
На ящик действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры. На поверхность со стороны ящика действует только одна 
сила — его вес (рис. 2). Так как система движется вверх, вектор ускорения также направлен вертикально вверх.

3. Второй закон Ньютона в векторной форме для ящика имеет следующий вид:
 

$m \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N} = m \cdot \overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси: в данном случае проекции сил и ускорения на ось ОХ равны нулю, поэтому достаточно записать проекцию на ось ординат:
 

$OY : N - m \cdot g = m \cdot a$.
 

5. В рассматриваемой задаче взаимодействуют ящик и горизонтальная поверхность лифта: ящик действует на поверхность с силой, равной его весу, поверхность — с силой реакции опоры. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению:
 

$P = N$.
 

6. Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} N - m \cdot g = m \cdot a \\ P = N \end{cases}$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу Р:
 

$P = m \cdot g + m \cdot a = 80 \cdot 10 + 80 \cdot 0,2 = 816 H$.

Ответ: $P = 816 H$.

Пример 2

Два бруска удерживаются на плоскости, поверхность которой наклонена под углом 60° к горизонту. Масса брусков одинакова и равна 4 кг. Коэффициент трения между первым бруском и поверхностью равен 0,6. Второй брусок гладкий. После того, как бруски отпускают, они приходят в движение. Рассчитайте, с какой силой второй брусок действует на первый в процессе их совместного движения.

Решение

1. После того, как бруски перестают удерживать на наклонной плоскости, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную наклонную плоскость. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY — перпендикулярно оси ОХ.
Массы первого и второго брусков обозначим m₁ и m₂ соответственно. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков. Силы, с которыми взаимодействуют бруски 1 и 2 обозначим как $\overrightarrow{F_{12}}$ и $\overrightarrow{F_{21}}$.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
 

$\overrightarrow{F_{21}} + m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N_{1}} + \overrightarrow{F_{\text{т}p}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;

$\overrightarrow{F_{12}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю.
 

$OX : m_{1} \cdot g_{x} + F_{21} - F_{\text{т}p} = m_{1} \cdot a$;

$OY : N_{1} - m_{1} \cdot g_{y} = 0$;

$OX : m_{2} \cdot g_{x} - F_{12} = m_{2} \cdot a$;

$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g_{y} = 0$.
 

Найдём проекции силы тяжести на координатные оси.

$m_{1} \cdot g_{x} = \sin ( \alpha ) \cdot m_{1} \cdot g$

$m_{1} \cdot g_{y} = \cos ( \alpha ) \cdot m_{1} \cdot g$

$m_{2} \cdot g_{x} = \sin ( \alpha ) \cdot m_{2} \cdot g$

$m_{2} \cdot g_{y} = \cos ( \alpha ) \cdot m_{2} \cdot g$

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы $\overrightarrow{F_{12}}$ и $\overrightarrow{F_{21}}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:
 

$F_{12} = F_{21} = F$.
 

6. Известно, что сила трения по определению равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры:

$F_{\text{т}p} = \mu \cdot N_{1}$.

Сведём все полученные закономерности в следующую систему уравнений:

$\begin{cases} \sin ( \alpha ) \cdot m_{1} \cdot g + F - \mu \cdot N_{1} = m_{1} \cdot a \\ N_{1} - \cos ( \alpha ) \cdot m_{1} \cdot g = 0 \\ \sin ( \alpha ) \cdot m_{2} \cdot g - F = m_{2} \cdot a \\ N_{2} - \cos ( \alpha ) \cdot m_{2} \cdot g = 0 \end{cases}$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
 

$F = \frac{m_{1} \cdot m_{2} \cdot \mu \cdot \cos ( \alpha ) \cdot g}{m_{1} + m_{2}} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 0,6 \cdot \cos ( 60^{\circ} ) \cdot 10}{4 + 4} = 6 H$.

Ответ: $F = 6 H$.

Пример 3

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

 

На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 4). Коэффициент трения между брусками равен 0,4.

 

Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m₁, чтобы брусок массой m₂ начал по нему скользить. Массы брусков равны m₁ = 5 кг и m₂ = 2 кг.

Решение

1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3: силы, действующие на бруски

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, на которой лежат бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности 

(рис. 5), ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков. В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению $\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}}$ и $\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}}$.
На брусок массой m₁ действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m₂.

На брусок массой m₂ действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
 

$\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}} + m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N_{1}} + \overrightarrow{F} + \overrightarrow{P} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;

$\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю:
 

$OX : F - F_{\text{т}p 1} = m_{1} \cdot a$;

$OY : N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0$;

$OX : F_{\text{т}p 2} = m_{2} \cdot a$;

$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$.

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы $\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}}$ и $\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:
 

$F_{\text{т}p 1} = F_{\text{т}p 2} = F_{\text{т}p}$.

Следует понимать, что в данном случае F_тр1 не зависит от N₁, так как данная сила возникает не из-за трения тела m₁ о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому F_тр1 определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок N₂.
 

Аналогичные рассуждения применимы к паре сил $\overrightarrow{P}$ и $\overrightarrow{N_{2}}$, по третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю:
 

$P = N_{2}$.
 

6. Запишем формулу силы трения:

$F_{\text{т}p} = \mu \cdot N_{2}$.

Сведём все полученные соотношения в следующую систему уравнений:

$\begin{cases} F - \mu \cdot N_{2} = m_{1} \cdot a \\ N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0 \\ \mu \cdot N_{2} = m_{2} \cdot a \\ N_{2} - m_{2} \cdot g = 0 \\ P = N_{2} \end{cases}$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
 

$F = \mu \cdot g \cdot \left(m_{1} + m_{2}\right) = 0,4 \cdot 10 \cdot ( 5 + 2 ) = 28 H$.

Ответ: $F = 28 H$.

Упражнение 1

1. На горизонтальном полу лифта лежит ящик массой 10 кг. Лифт начинает опускаться на нижний этаж с ускорением 0,4 м/с². Найти вес ящика в процессе движения лифта.
 

2. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 4 м находится груз массой 40 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз с ускорением 2 м/с²? Коэффициент трения 0,4.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте третий закон Ньютона.
2. На полу лифта на весах находится ящик. Как изменятся показания весов, когда лифт начнёт опускаться на нижний этаж с некоторым ускорением?
3. Как направлена сила трения, если брусок покоится на наклонной плоскости?

Упражнение 1

1. Р = 96 Н

2. F = 496 Н