- Сила натяжения нити
- Примеры решения задач
- знать алгоритм решения задач о движении связанных тел
- уметь применять второй и третий законы Ньютона для решения задач на движение связанных тел
- Сформулируйте третий закон Ньютона.
- В каких случаях возникает сила упругости?
- Куда направлена сила упругости?
Сила натяжения нити
Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.
В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, появляющаяся в нерастяжимой нити, называется силой натяжения нити и обозначается $\overrightarrow{T}$.
Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F
Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).
В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой $\overrightarrow{T_{1}}$. По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с силой $\overrightarrow{T}$ такой, что $\overrightarrow{T} = - \overrightarrow{T_{1}}$.
Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой $\overrightarrow{T_{2}}$, брусок действует на нить с такой силой $\overrightarrow{T '}$, что $\overrightarrow{T} ' = - \overrightarrow{T_{2}}$.
Таким образом, силы $\overrightarrow{T}$ и $\overrightarrow{T '}$ действуют на нить, а силы $\overrightarrow{T_{1}}$ и $\overrightarrow{T_{2}}$ — на связанные бруски.
Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:
$\left|\overrightarrow{T}\right| = \left|\overrightarrow{T} '\right|$.
Так как $\overrightarrow{T} = - \overrightarrow{T_{1}}$ и $\overrightarrow{T} ' = - \overrightarrow{T_{2}}$, справедливо будет записать следующее равенство:
$\left|\overrightarrow{T}\right| = \left|\overrightarrow{T_{1}}\right| = \left|\overrightarrow{T} '\right| = \left|\overrightarrow{T_{2}}\right|$.
При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы $\overrightarrow{T}$ и $\overrightarrow{T '}$, возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).
Примеры решения задач
Пример 1
Два бруска массами m1 = 2 кг и m2 = 6 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m2 начинает действовать сила F = 10 Н, в результате чего бруски начинают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков. Поверхность и бруски считать гладкими.
Решение
1. После того как на второй брусок начинает действовать сила F, система начинает двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1
2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, по которой движутся бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков: так как сила F направлена вправо, система будет двигаться в направлении данной силы (рис. 2). Ось OY направлена перпендикулярно оси ОХ.
Изобразим силы, действующие на бруски. Силы упругости, возникающие в нити, изображать не обязательно, так как в данном случае мы не будем применять второй закон Ньютона к нити, связывающей тела.
3. Поскольку нить нерастяжима, то ускорение связанных тел будет одинаково. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго бруска:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{1}} + \overrightarrow{N_{1}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;
$\overrightarrow{F} + m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{2}} + \overrightarrow{N_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси:
$OY : N_{1} - m_{1} \cdot g = 0$;
$OX : T_{1} = m_{1} \cdot a$;
$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$;
$OX : F - T_{2} = m_{2} \cdot a$;
5. Как мы уже знаем, при движении связанных невесомой нитью тел силы натяжения нити Т1 и Т2, приложенные к телам, равны по модулю:
$T_{1} = T_{2} = T$.
6. Обратим внимание, что для решения поставленной задачи достаточно решить систему из уравнений на ось OX.
Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:
$\begin{cases} T = m_{1} \cdot a \\ F - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$
Тогда
$a = \frac{F}{m_{1} + m_{2}} = \frac{10}{2 + 6} = 1,25 \text{м} / c^{2}$.
Ответ: $a = 1,25 \text{м} / c^{2}$.
Пример 2
Через неподвижный невесомый блок перекинута лёгкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m1 = 5 кг и m2 = 10 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.
Решение
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2
1. После того как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплён блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m2 тяжелее, система будет двигаться в направлении силы $m_{2} \cdot \overrightarrow{g}$ (рис. 3).
Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.
3. Поскольку нить нерастяжима, то ускорение связанных тел будет одинаково. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{1}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;
$m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.
Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.
$OY : m_{1} \cdot g - T_{1} = - m_{1} \cdot a$;
$OY : m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$.
5. Как мы уже знаем, при движении тел, связанных невесомой нитью, силы натяжения нити Т1 и Т2, приложенные к телам, равны по модулю:
$T_{1} = T_{2} = T$.
6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:
$\begin{cases} m_{1} \cdot g - T = - m_{1} \cdot a \\ m_{2} \cdot g - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$
Тогда
$a = \frac{m_{1} \cdot g - m_{2} \cdot g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{5 \cdot 10 - 10 \cdot 10}{- 5 - 10} \approx 3,3 \text{м} / c^{2}$.
Ответ: $a = 3,3 \text{м} / c^{2}$.
Пример 3
К одному концу нерастяжимой верёвки массой 0,5 кг привязывают груз массой 2 кг. Верёвку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 50 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы верёвки.
Решение
1. Верёвка по условию задачи нерастяжима, примем, что груз и верёвка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3: силы, действующие на бруски
2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения
системы — в направлении действия силы $\overrightarrow{F}$ (рис. 4). Обозначим массу груза m2, массу верёвки m1.
К верхнему концу верёвки, к точке А, по условию приложена сила $\overrightarrow{F}$, в этой точке возникает сила упругости $\overrightarrow{T_{1}}$, действующая на источник силы $\overrightarrow{F}$ (например, на руку человека, который тянет верёвку).
В месте крепления груза, в точке В, на верёвку действует вес груза $\overrightarrow{P}$, в результате в этой точке возникает сила упругости $\overrightarrow{T_{2}}$, действующая на груз.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для верёвки и для груза:
$\overrightarrow{F} + m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{P} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;
$m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:
$OY : F - m_{1} \cdot g - P = m_{1} \cdot a$;
$OY : T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$.
5. По третьему закону Ньютона силы $\overrightarrow{T_{2}}$ и $\overrightarrow{P}$ равны по модулю и противоположны по направлению:
$P = T_{2}$.
6. Решаем полученную систему с учётом соотношения:
$\begin{cases} F - m_{1} \cdot g - T_{2} = m_{1} \cdot a \\ T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a \end{cases}$
Тогда
$a = \frac{F - g \cdot \left(m_{1} + m_{2}\right)}{m_{1} + m_{2}} = \frac{50 - 10 \cdot ( 0,5 + 2 )}{0,5 + 2} = 10 \text{м} / c^{2}$.
Найдём Т2:
$T_{2} = m_{2} \cdot g + m_{2} \cdot a = 40 H$.
Наконец, найдём значение силы Т1: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой верёвку тянут вверх:
$T_{1} = F = 50 H$.
Ответ: $a = 10 \text{м} / c^{2}$; $T_{1} = 50 H$; $T_{2} = 40 H$.
Упражнение 1
1. Два бруска массами m1 = 1 кг и m2 = 3 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m2 начинает действовать сила F = 20 Н, в результате чего бруски начинают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.
2. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 300 и 500 г. Какова сила натяжения нити во время движения?
3. Тепловоз массой 80 т тянет два вагона массой по 20 т каждый с ускорением 0,2 м/с2. Найти силу тяги тепловоза, если коэффициент трения равен 0,005.
Упражнение 1
1. а = 1 м/с2
2. T = 3,75 Н
3. F = 30 кН
