Самые сложные задачи ЕГЭ по математике: вместе с учителями разбираем задания, которые пугают школьников

Что же такого было в заданиях, что даже отличники выходили с экзамена в слезах? Вместе с преподавателями разобрали 5 самых сложных задач ЕГЭ по математике.

«Превратились в олимпиадные задачи»

Среди преподавателей и репетиторов бытует мнение, что раньше детям предлагали задачи строго в рамках демоверсии, стандартных прототипов, к которым они привыкли. Сейчас времена изменились, и задания ЕГЭ по математике вывели на новый уровень.

«Как только не называли профильную математику: и экзаменом-убийцей, и гробовым вариантом, и актом математического насилия. Количество стобалльников уменьшилось в 4 раза по сравнению с предыдущим годом — с 1314 до 307 человек», — поделилась с MSK1.RU методист по математике «Онлайн-школы» № 1 Мария Пудлич.

В 2025 году задания ЕГЭ были особенно коварными. Выпускникам предлагали нестандартные формулировки, требующие не просто знания методов, а настоящего математического мышления.

«Первая часть остается стабильно доступной — 70 баллов можно получить при базовой подготовке, — рассказала MSK1.RU преподаватель информатики и математики, основатель онлайн-школы Infokly Арина Шабалина. — Вторая часть становится всё непредсказуемей. Задания 18 и 19 фактически превратились в олимпиадные задачи — их полностью решают 2-5% сдающих».

«В 2025 году и в предыдущие годы ключевые трудности сосредоточены в заданиях второй части, особенно в номерах 13, 15, 16, 18 и 19», — солидарна преподаватель математики в онлайн-школе ЕГЭland Мария Пруленцова.

Вместе с педагогами разобрали 5 самых сложных заданий ЕГЭ 2025 года, которые вызвали затруднения у большинства выпускников.

Сложное задание № 1

Одиннацатиклассникам на ЕГЭ предлагали найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x4+(a-3)2=x-a+3+x+a-3 либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Это задание относится к категории высокой сложности и требует от ученика комплексного подхода. Основные трудности:

1. Наличие модулей и четвертой степени одновременно. Нужно было догадаться, что левая часть уравнения всегда неотрицательна.

2. Геометрическая интерпретация. Уравнение вида x-p+|x-q| можно интерпретировать как сумму расстояний от точки x до точек p и q на числовой прямой. Здесь p=a-3, q=-a+3.

3. Анализ двух случаев. Нужно было рассмотреть два принципиально разных сценария:

• когда уравнение не имеет решений (левая часть меньше минимально возможного значения правой);
• когда имеет единственное решение (левая часть равна минимуму правой, и этот минимум достигается ровно в одной точке).

4.Понимание симметрии. Точки a-3 и -a+3 симметричны относительно нуля, что упрощает анализ, но эту симметрию нужно было заметить.

«Многие ученики не смогли справиться, потому что пытались решать уравнение „в лоб“, раскрывая модули на промежутках, что приводило к громоздким выкладкам и ошибкам. Те же, кто увидел геометрический смысл, справились быстрее», — объясняет Мария Пудлич.

Сложное задание №2

Также выпускникам на экзамене по матеметике предлагали найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x-2a-1+|x-2a+1|)2+ax-2a-1+x-2a+1+a2-48=0 имеет ровно два различных корня.

Это задание оказалось ещё более комплексным. Вот что требовалось заметить и сделать:

1. Замена переменной. Ученики должны были увидеть, что выражение x-2a-1+x-2a+1 удобно заменить одной переменной t. Важно понять, что t зависит не только от x, но и от параметра a, но при этом имеет четкую структуру — это сумма расстояний до двух симметричных точек.

2. Исследование квадратного уравнения. После замены получается квадратное уравнение относительно t: t2+at+a2-48=0. Нужно исследовать, при каких значениях параметра это уравнение имеет неотрицательные корни (так как t≥0), а затем связать количество корней по t с количеством корней по x.

3. Связь между t и x. Самая сложная часть — понять, сколько значений x дает одно значение t. Для этого нужно исследовать функцию tx=x-2a-1+x-2a+1.

4. Условие «ровно два различных корня». Нужно было найти такие значения параметра a, при которых исходное уравнение имеет ровно два решения. Это означало, что:

• дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицателен;
• полученные значения t должны быть допустимыми (t≥2);
• каждому допустимому t должно соответствовать ровно два значения x (кроме случая, когда решение одно).

5.Работа с модулями. Даже после замены нужно было учитывать, что tx=x-2a-1+x-2a+1 — это кусочно-линейная функция, и ее поведение зависит от расположения x относительно точек 2a-1 и 2a+1.

«Большинство выпускников не справились с этим заданием именно из-за необходимости комбинировать разные темы: модули, квадратичную функцию, исследование зависимости и подсчет корней. Те, кто решал, показали действительно высокий уровень подготовки», — сказала Мария Пудлич.

Сложное задание №3

Задание № 19 — теория чисел. Оно традиционно считается самым сложным в ЕГЭ, а 2025 году действительно превзошло все ожидания.

Формулировка: на доске записано 10 различных натуральных чисел. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или любых семи из записанных чисел является целым числом.

1. Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 563 и 1417?

2. Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 563?

3. Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и число n2. Найдите наименьшее возможное значение n.

«Задача требует не просто счета, а глубокого понимания свойств делимости, — подчеркивает Мария Пудлич. — Ключевая идея: если среднее арифметическое любых четырех чисел целое, то все числа имеют одинаковый остаток при делении на 4. Аналогично для семерок — одинаковый остаток при делении на 7. Большинство учеников не доходят до идеи одинаковых остатков и пытаются решать подбором, что в пунктах 2 и 3 почти невозможно».

Сложное задание №4

Обычно это самое доступное задание второй части — стандартная тригонометрия за 5-7 минут. В 2025 году нужно было решить уравнение, условие которого выглядело так: 2sin(x) + 2√2·sin(-x)-4cos²(x) = √2-4.

В этом уравнении была ловушка: если его решать стандартным подходом через замену и дискриминант — получается нерешаемое выражение. Требовалось разложить на множители группировкой.

«Этот прием большинство учеников не отрабатывают — его нет в типовых сборниках. По оценкам проверяющих, даже хорошо подготовленные ученики потеряли на этом 10-15 минут», — рассказала Алина Шабалина.

Сложное задание № 5

Еще одно задание ЕГЭ по математике, которое вызвало трудности у школьников, звучало так: найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a(x-9/x)²-2(x-9/x)-49a+18=0 имеет ровно два различных решения.

Задача требует замены t = x-9/x, анализа квадратного уравнения относительно t с параметром a, а затем — обратного перехода к x через еще одно квадратное уравнение.

«Нужно учесть область значений функции t(x) и аккуратно посчитать количество решений, — подсказывает Арина Шабалина. — Это многоходовка, в которой легко потерять случай или допустить ошибку в знаках».

Источник: msk1.ru

Фото: freepik.com