объясните как построить биссектрису данного угла

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Ниже приводится классическое построение, выполняемое исключительно с помощью циркуля и линейки без делений. Данный метод изучается в курсе геометрии 7 класса и опирается на свойства равных треугольников.

Пусть дан угол (вершина в точке , стороны и ). Требуется: построить биссектрису угла .

Ход построения

1. Построение окружности с центром в вершине угла. Установите иглу циркуля в точку (вершина угла). Проведите дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Точки пересечения обозначьте соответственно (на стороне ) и (на стороне ). При этом радиус должен быть выбран таким образом, чтобы дуга действительно пересекла обе стороны угла; величина радиуса не влияет на точность построения.

2. Построение окружностей равного радиуса с центрами в точках пересечения. Не меняя раствора циркуля, установите иглу в точку и проведите дугу внутри угла. Затем, сохраняя тот же раствор, проведите дугу с центром в точке . Эти две дуги должны пересечься. Точку их пересечения обозначьте .

3. Проведение биссектрисы. С помощью линейки проведите луч из вершины угла через точку . Построенный луч является искомой биссектрисой угла .

Доказательство

Данное построение строго доказывается через равенство треугольников и .

1. По построению: (как радиусы одной и той же дуги с центром ).
2. Также по построению: (как радиусы равных дуг, проведённых из точек и без изменения раствора циркуля).
3. Сторона — общая для треугольников и . Следовательно, треугольники и равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: . Таким образом, луч делит угол на два равных угла, то есть является биссектрисой.