Конспект урока: Арифметический корень натуральной степени

В одной и той же системе координат построим графики левой и правой частей уравнения, т.е. $y = x^{4} \text{и} y = 16$. Они пересекаются в двух точках 

А $( - 2,16 )$ и В $( 2,16 )$. Их абсциссы $x_{1} = - 2 , x_{2} = 2$ являются решениями уравнения $x^{4} = 16$. Эти корни называются корнями четвертой степени из числа 16, а положительный корень (равный 2) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 16.

 

Вообще, при решении уравнения $x^{n} = a , a \geq 0 , n \in N$ получается единственный неотрицательный корень. Он называется арифметическим корнем n-ой степени из числа a.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$. 

Выражение a называют подкоренным выражением. 

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a , a \geq 0 , b \geq 0 .$

В случае $n = 2$, в обозначении корня 2 не пишут, а пишут $\sqrt{a}$ и называют «квадратный корень из числа a».

В случае $n = 3$, называют «кубический корень из числа a».

Перенесем слагаемое из правой части в левую и разложим получившийся многочлен на множители $( x + 4 ) ( x^{2} - 4 x + 16 ) = 0$. Если приравнять второй множитель $x^{2} - 4 x + 16$ к нулю, то дискриминант этого выражения будет отрицательным, значит $x^{2} - 4 x + 16 > 0$ для любого действительного x. Тогда $x + 4 = 0 , x = - 4$. Получили, что уравнение $x^{3} = - 64$ имеет один действительный корень $x = - 4$. Этот корень не является арифметическим, т.к. он отрицательный. Он называется кубическим корнем из числа -64 и обозначается $\sqrt[3]{- 64}$: $\sqrt[3]{- 64} = - 4$.

При решении уравнения $x^{n} = a$ в случае нечетности n и отрицательности a, т.е. при решении $x^{2 k + 1} = a , a < 0$ имеем только один отрицательный корень $\sqrt[2 k + 1]{a}$. Он называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.

Так как $- a = | a | , \text{т} o \sqrt[2 k + 1]{a} = - \sqrt[2 k + 1]{- a} = - \sqrt[2 k + 1]{| a |}$.
 

Например, $\sqrt[3]{- 125} = - \sqrt[3]{125} = - 5$.

Операция нахождения корня n-й степени из неотрицательного числа является обратной к возведению в соответствующую степень и называется извлечением корня n-й степени.

Вычислить $\sqrt[3]{- 125} + \sqrt[5]{0,00001} - \sqrt[4]{0,0081} + \sqrt[3]{- 343}$

Решение

$\sqrt[3]{- 125} + \sqrt[5]{0,00001} - \sqrt[4]{0,0081} + \sqrt[3]{- 343} = \sqrt[3]{\left( - 5 \right)^{3}} + \sqrt[5]{0,1^{5}} - \sqrt[4]{0,3^{4}} +$

$+ \sqrt[3]{\left( - 7 \right)^{3}} = - 5 + 0,1 - 0,3 - 7 = - 12,2$

Ответ: $- 12,2$

Свойства арифметического корня n-ой степени

Пусть $a \geq 0 , b > 0 , m \in N , n \in N , k \in N , m \geq 2 , n \geq 2$
 

1. $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$;
    
2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$;
    
3. $\left( \sqrt[n]{a} \right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$;
    
4. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$;
    
5. $\sqrt[m k]{a^{n k}} = \sqrt[m]{a^{n}}$;
    
6. $\sqrt[2 k]{a^{2 k}} = | a | , k \in N$.

Вообще говоря, в свойстве 1 b может быть равным 0; в свойстве 3 в случае положительного значения a, m может быть любым целым.

Вычислить: 

а) $\sqrt[5]{8} \times \sqrt[5]{4}$;

б) $\sqrt[3]{1 \frac{61}{64}}$;

в) $\sqrt[5]{3^{10} \times \left( \frac{1}{3} \right)^{15}}$;

г) $\left( \sqrt[4]{3^{3}} \times \sqrt[3]{2^{2}} \right)^{6} : \sqrt[4]{3^{6}}$;

д) $\sqrt[4]{\sqrt{0,00000001 }} \times \sqrt{\sqrt{625}}$;

е) $\sqrt[3]{5 - \sqrt[3]{61}} \times \sqrt[3]{25 + 5 \sqrt[3]{61} + \sqrt[3]{61^{2}}}$.
 

Решение

а) $\sqrt[5]{8} \times \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \times 4} = \sqrt[5]{32} = 2$;

б) $\sqrt[3]{1 \frac{61}{64}} = \sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$;

в) $\sqrt[5]{3^{10 } \times \left( \frac{1}{3} \right)^{15} =} \sqrt[5]{3^{10} \times 3^{- 15}} = \sqrt[5]{3^{- 5}} = \frac{1}{3}$;

г) $\left( \sqrt[4]{3^{3 }} \times \sqrt[3]{2^{2}} \right)^{6} \div \sqrt[4]{3^{6}} = \frac{\sqrt[4]{3^{18}} \times \sqrt[3]{2^{12}}}{\sqrt[4]{3^{6}}} = \sqrt[4]{3^{12}} \times 2^{4} = 3^{3} \times 2^{4} = 432$;

д) $\sqrt[4]{\sqrt{0,00000001}} \times \sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt[8]{0,00000001} \times \sqrt[4]{625} = 0,1 \times 5 = 0,5$ ;

е) $\sqrt[3]{5 - \sqrt[3]{61}} \times \sqrt[3]{25 + 5 \sqrt[3]{61} + \sqrt[3]{61^{2}}} = \sqrt[3]{( 5 - \sqrt[3]{61} ) ( 25 + 5 \sqrt[3]{61} + \sqrt[3]{61^{2} )}} =$

$= \sqrt[3]{5^{3} - \sqrt[3]{61^{3} }} = \sqrt[3]{125 - 61} = 4$.

Ответ: а) 2;        б) $1 \frac{1}{4}$ ;   в) $\frac{1}{3}$ ;   г) 432;           д) 0,5;  е) 4.

Вычислить:

а) $\sqrt[3]{1 \frac{127}{216}}$;

б) $\sqrt[5]{27} \times \sqrt[5]{9}$;

в)$\sqrt[9]{5^{27} \times \left( \frac{1}{5} \right)^{18}}$;

г)$\left( \sqrt[3]{3^{2}} \times \sqrt[4]{2^{2}} \right)^{6} : \sqrt[3]{8^{2}}$;

д)$\sqrt[3]{7 - \sqrt[3]{127}} \times \sqrt[3]{49 + 7 \sqrt[3]{127} + \sqrt[3]{127^{2}}}$

Упростить выражения:
 

а) $\frac{\sqrt[6]{x y } - \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} : \frac{\sqrt[6]{x y}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$, при x>0, y>0, $x \neq y ;$
 

б)$\frac{y \sqrt[3]{x^{2}} - x \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x y}}$,  при x>0, y>0.

Решение
 

а) $\frac{\sqrt[6]{x y} - \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} : \frac{\sqrt[6]{x y}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}} = \frac{\sqrt[6]{y} ( \sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} )}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} \times \frac{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}{\sqrt[6]{x y}} = \frac{\sqrt[6]{y} ( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} )}{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} ) \sqrt[6]{x} \sqrt[6]{y}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$;
 

б) $\frac{y \sqrt[3]{x^{2}} - x \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x y}} = \frac{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{y} ( \sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{x} )}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x} ( \sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{x} ) = \sqrt[3]{x y^{2}} - \sqrt[3]{x^{2}}$.
 

Ответ: а) $\frac{1}{\sqrt[6]{x}}$; б) $\sqrt[3]{x y^{2}} - \sqrt[3]{x^{2}}$

Упростить выражения:

а) $\frac{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}$, где $x \neq y$;
 

б)$\frac{x - y}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} - \sqrt[3]{x y}$, где $x \neq y$.

Избавиться от иррациональности в знаменателе $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$.

Решение

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, а именно на $( \sqrt{2} + \sqrt{3} ) - \sqrt{5}$.
 

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$=$\frac{3 \sqrt{3} ( ( \sqrt{2} + \sqrt{3} ) - \sqrt{5} )}{( ( \sqrt{2} + \sqrt{3} ) + \sqrt{5} ) ( ( \sqrt{2} + \sqrt{3} ) - \sqrt{5} )} = \frac{3 \sqrt{6} + 9 - 3 \sqrt{15}}{2 \sqrt{6}}$.

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{6}$.

$\frac{3 \sqrt{6} + 9 - 3 \sqrt{15}}{2 \sqrt{6}} = \frac{( 3 \sqrt{6} + 9 - 3 \sqrt{15 )} \times \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{18 + 9 \sqrt{6} - 3 \sqrt{90}}{12} = \frac{3 ( 2 + \sqrt{6} - \sqrt{10} )}{4}$.

Ответ: $\frac{3 ( 2 + \sqrt{6} - \sqrt{10} )}{4}$.

Избавиться от иррациональности в знаменателе $\frac{14 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}$.

Заметим, корень четной степени имеет смысл только на множестве неотрицательных чисел, корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

При каких x выражение имеет смысл:
 

a) $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x - 4}$

б) $\sqrt[6]{\frac{x - 5}{4 - x}}$

Решение
 

а) Так как дан корень четной кратности, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0 , ( x - 4 ) ( x + 1 ) \geq 0$. Решив это неравенство, получим $x \in ( - \infty ; - 1 \left]\right. \cup [ 4 ; + \infty ) .$
 

б) $\frac{x - 5}{4 - x} \geq 0$.

$x \in ( 4 ; 5 \left]\right.$
 

Ответ: а) $( - \infty ; - 1 \left]\right. \cup [ 4 ; + \infty ) ;$ б)(4;5]

При каких $x$ выражение имеет смысл:
 

а) $\sqrt[9]{5 - x}$;

б) $\sqrt[8]{- x^{2} + 5 x - 6}$;

в) $\sqrt[12]{\frac{8 - x}{x + 8}}$.

Итак:

1. Арифметическим корнем натуральной степени $n \geq 2$ из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
 

2. Решение уравнения $x^{2 k + 1} = a , a < 0 , k \in N$ называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.
 

3. При $a < 0 \sqrt[2 k + 1]{a} = - \sqrt[2 k + 1]{- a} = - \sqrt[2 k + 1]{| a |}$.
 

4. Пусть $a \geq 0 , b > 0 , m \in N , n \in N , k \in N , m \geq 2 , n \geq 2$
 

• $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$;
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$;
• $\left( \sqrt[n]{a} \right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$;
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$;
• $\sqrt[m k]{a^{n k}} = \sqrt[m]{a^{n}}$.

5. $\sqrt[2 k]{a^{2 k}} = | a | , k \in N , a \in R$.

1. Что называют арифметическим корнем натуральной степени?
2. Что называют корнем нечетной степени из неотрицательного числа?
3. Какие свойства корня вы знаете?
4. Найти область допустимых значений выражения:   a) $\sqrt[6]{3 x - 4}$;   б)$\sqrt[5]{2 x - 7}$.