Конспект урока: Системы показательных уравнений и неравенств

План урока

• Метод подстановки в решении систем показательных уравнений
• Метод алгебраического сложения в решении систем показательных уравнений
• Решение системы, содержащей и показательное уравнение, и показательное неравенство
• Замена переменной при решении системы показательных уравнений

Цели урока

• Знать, как выглядят системы показательных уравнений и неравенств
• Уметь их решать методом подстановки, методом алгебраического сложения

Разминка

1.Решить уравнение:

а) $4^{x} = 0,25$;                   б) $128^{x} = 8$;                  в) $\left( \frac{1}{3} \right)^{5 x} = 1$.

 

2. Решить неравенство:
 

а) $\left( \frac{1}{5} \right)^{3 x} < \left( \frac{1}{5} \right)^{2}$;     б) $\pi^{12} \leq \pi^{4 x}$.

 

3.    С помощью графиков решить неравенство:

 

а) $\left( \frac{1}{2} \right)^{x} > \frac{x}{2}$;                    б) $\left( \frac{1}{2} \right)^{x} \leq \frac{x}{2}$.

Решить систему:

а) $\begin{cases} x - y = 1 \\ 4^{2 x - 3 y} = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^{x} - 4 \times 2^{y} = - 62 \\ 3 \times 2^{x} + 4 \times 2^{y} = 70 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \left( 0,2^{x} \right)^{y} = 0,008 \\ 0,4^{y} = 0,4^{3,5 - x} \\ 2^{x} \times 0,5^{y} < 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3^{x} - 2^{2 y} = 17 \\ 3^{\frac{x}{2}} + 2^{y} = 17 \end{cases}$

Решение

а)  $\begin{cases} x - y = 1 \\ 4^{2 x - 3 y} = 1 \end{cases}$
 

Воспользуемся методом подстановки. Выразим из первого уравнения системы переменную x через y и подставим во второе уравнение:
 

$\begin{cases} x = 1 + y \\ 4^{2 + 2 y - 3 y} = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 1 + y \\ 2 - y = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$             

Ответ: (3;2).

б) $\begin{cases} 2^{x} - 4 \times 2^{y} = - 62 \\ 3 \times 2^{x} + 4 \times 2^{y} = 70 \end{cases}$
 

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим почленно первое и второе уравнение системы, получим: $4 \times 2^{x} = 8$, откуда x=1. Найденное значение переменной x подставим в первое уравнение:
 

$2^{1} - 4 \times 2^{y} = - 62$

$4 \times 2^{y} = 64$

$y = 4$
 

Ответ: (1;4).

в) $\begin{cases} \left( 0,2^{x} \right)^{y} = 0,008 \\ 0,4^{y} = 0,4^{3,5 - x} \\ 2^{x} \times 0,5^{y} < 1 \end{cases}$

$\begin{cases} \left( 0,2^{x} \right)^{y} = 0,2^{3} \\ 0,4^{y} = 0,4^{3,5 - x} \\ 2^{x} \times 2^{- y} < 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x y = 3 \\ y = 3,5 - x \\ x - y < 0 \end{cases}$
 

Подставим y из второго уравнения системы в первое:
 

$x ( 3,5 - x ) = 3$

$2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$x_{1} = 2 ; x_{2} = 1,5$

Найденные значения переменной x подставим во второе уравнение:

если x=2, то y=1,5; если x=1,5, то y=2. Так как по третьему условию системы разность x и y должна быть отрицательной, то x=1,5, y=2.

Ответ: (1,5; 2).

г)  $\begin{cases} 3^{x} - 2^{2 y} = 17 \\ 3^{\frac{x}{2}} + 2^{y} = 17 \end{cases}$       
 

$\begin{cases} 3^{x} - \left( 2^{y} \right)^{2} = 17 \\ \left( 3^{x} \right)^{\frac{1}{2}} + 2^{y} = 17 \end{cases}$
 

Пусть $3^{x} = U , 2^{y} = V , U > 0 , V > 0$. Тогда система уравнений примет вид:
 

 $\begin{cases} U - V^{2} = 17 \\ \sqrt{U} + V = 17 \end{cases}$

$\begin{cases} U - V^{2} = 17 \\ \sqrt{U} = 17 - V \end{cases}$
 

Возведем второе уравнение системы во вторую степень при условии, что
 

$17 - V \geq 0$, т.е. $V \leq 17$.

$\begin{cases} U - V^{2} = 17 \\ U = \left( 17 - V \right)^{2} \end{cases}$
 

Подставим полученное выражение вместо переменной $U$ в первое уравнение:
 

$\begin{cases} \left( 17 - V \right)^{2} - V^{2} = 17 \\ U = \left( 17 - V \right)^{2} \end{cases}$
 

Решим отдельно первое уравнение: 
 

$( 17 - V - V ) ( 17 - V + V ) = 17$

$( 17 - 2 V ) \times 17 = 17$

$17 - 2 V = 1$

$V = 8$
 

Подставим найденной значение V во второе уравнение:
 

$U = \left( 17 - 8 \right)^{2}$

$U = 81$

Вернемся к исходным переменным: $3^{x} = 81$, $2^{y} = 8$. Значит, x=4, y=3.

Ответ: (4; 3).

Решить систему:

а) $\begin{cases} 3^{y} - 5^{x + 1} = 2 \\ 5^{x} \times 3^{y} = 135 \end{cases}$;         

б) $\left\{\right. \left( 13^{x} \right)^{y} = 13^{- 8} \\ \left( \frac{3}{2} \right)^{x} \times \left( \frac{2}{3} \right)^{- y} = \frac{4}{9} \\ \pi^{x} > \pi^{y} )$;

в) $\begin{cases} 2^{x + 1} - 3^{y} = - 1 \\ 3^{y} - 2^{x} = 2 \end{cases}$;

1. В чем заключается суть метода подстановки и метода алгебраического сложения при решении систем показательных уравнений и неравенств?