Конспект урока: Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла

В прошлом параграфе мы рассмотрели формулы синуса, косинуса, тангенса, котангенса двойного угла. Вспомним некоторые из них.

• $\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha ;$
• $\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .$

В этом параграфе рассмотрим формулы половинного угла, которые связывают тригонометрические функции угла α и тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2} .$ По сути, это те же формулы двойного угла, только записанные несколько иным образом.

Запишем основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного угла, в которых в качестве аргумента возьмем угол  $\frac{\alpha}{2} .$

$\sin^{2} \frac{\alpha}{2} + \cos^{2} \frac{\alpha}{2} = 1 ,$               (1)

$\cos^{2} \frac{\alpha}{2} - \sin^{2} \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha .$         (2)

Сложим равенства (1) и (2): $2 \cos^{2} \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$, отсюда 

$\cos^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} .$              (3)

При вычитании из (1) равенства (2) получаем $2 \sin^{2} \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha ,$ тогда

$\sin^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} .$              (4)

Формулы (3) и (4) называют формулами косинуса и синуса половинного угла или, иначе, формулами понижения степени. Откуда появилось такое название? Причина в том, что в левой части формул вторая степень синуса и косинуса, а в правой части — первая, т. е. она понизилась. Но при использовании стоит помнить, что степень уменьшается, но аргумент увеличивается в два раза. Так как для нахождения значения $\sin \frac{\alpha}{2}$и $\cos \frac{\alpha}{2}$нужно извлекать корень, то получается два значения — отрицательное и положительное, знак определяется тем, в какой четверти лежит угол $\frac{\alpha}{2}$.

С помощью формул (3) и (4) можно найти и значение тангенса половинного угла:

$\operatorname{tg}^{2} \frac{a}{2} = \frac{\sin^{2} \frac{a}{2}}{\cos^{2} \frac{a}{2}} = \frac{1 - \cos a}{1 + \cos a}$, тогда

$\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} .$             (5)

Аналогично

$\operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} .$            (6)

Формулы (5) и (6) имеют место тогда, когда справедливы правая и левая части равенств.

Вычислите $\sin \frac{x}{2} , \cos \frac{x}{2} , \operatorname{tg} \frac{x}{2} ,$если $\cos x = \frac{3}{14} , \frac{3 \pi}{2} < x < 2 \pi .$

Решение    

По формуле (3) $\cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + \frac{3}{14}}{2} = \frac{17}{28} .$ По условию $\frac{3 \pi}{2} < x < 2 \pi ,$ тогда $\frac{3 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \pi ,$ значит $\frac{x}{2}$ лежит во II четверти, в которой $\cos x < 0 .$ Поэтому из равенства $\cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{17}{28}$ получаем $\cos \frac{x}{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{7}} .$

Для нахождения $\sin \frac{x}{2}$ воспользуемся формулой (4). Имеем $\sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \frac{3}{14}}{2} = \frac{11}{28} .$ Выше было установлено, что $\frac{x}{2}$ лежит во II четверти, в которой $\sin x > 0 ,$ тогда $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{7}} .$

Найдем $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$  по определению тангенса угла $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = - \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{17}} .$

Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{7}} ,$ $- \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{7}} ,$ $- \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{17}} .$

Выразите выражение  $\sin^{4} x + \cos^{4} x$ через $\cos 4 x .$

Решение

$\sin^{4} x + \cos^{4} x = \left( \sin^{2} x \right)^{2} + \left( \cos^{2} x \right)^{2} .$ Применим к $\sin^{2} x$ и $\cos^{2} x$ формулы (4) и (3): $\left( \sin^{2} x \right)^{2} + \left( \cos^{2} x \right)^{2} = \left( \frac{1 - \cos 2 x}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1 + \cos 2 x}{2} \right)^{2} .$  Раскроем скобки в полученном выражении: 

$\frac{1 - 2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x + 1 + 2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x}{4} = \frac{2 + 2 \cos^{2} 2 x}{4} = \frac{1 + \cos^{2} 2 x}{2} .$ Для $\cos^{2} 2 x$ понизим степень, получим $\cos^{2} 2 x = \frac{1 + \cos 4 x}{2} .$ Тогда выражение примет вид $\frac{1 + \cos^{2} 2 x}{2} = \frac{1 + \frac{1 + \cos 4 x}{2}}{2} = \frac{3 + \cos 4 x}{4} .$

Ответ: $\frac{3 + \cos 4 x}{4} .$

Задача

Выразим $\sin \alpha , \cos \alpha , \operatorname{tg} \alph\text{ач} e p \text{ез} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$. Будем использовать формулы синуса и косинуса двойного угла, основное тригонометрическое тождество, определение тангенса угла.

• $\sin \alpha = \sin ( 2 \cdot \frac{\alpha}{2} ) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin^{2} \frac{\alpha}{2} + \cos^{2} \frac{\alpha}{2}} .$

           Разделим почленно числитель и знаменатель на $\cos^{2} \frac{\alpha}{2} :$ 

           $\frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}} + \frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}} = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} .$ Тогда

$\sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} .$            (7)

• $\cos \alpha = \cos ( 2 \cdot \frac{\alpha}{2} ) = \cos^{2} \frac{\alpha}{2} - \sin^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2} - \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{1} = \frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2} - \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{\sin^{2} \frac{\alpha}{2} + \cos^{2} \frac{\alpha}{2}} .$

           Разделим почленно числитель и знаменатель на $\cos^{2} \frac{\alpha}{2} :$

          $\frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2} - \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{\sin^{2} \frac{\alpha}{2} + \cos^{2} \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}} + \frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}} =$ $\frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} .$ Получили

$\cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} .$               (8)

• $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}}{\frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}} = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} .$ То есть
   

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} .$               (9)

Формулы (7)–(9) справедливы тогда, когда справедливы обе части равенств.

Вычислите  $\cos \frac{\alpha}{2} , \sin \frac{\alpha}{2} , \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} ,$если $\cos \alpha = 0,28 , \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .$

Докажите тождество $\sin^{2} ( \frac{3 \pi}{4} + 2 x ) = \frac{1 - \sin 4 x}{2} .$

1. Какие формулы называют формулами понижения степени? Назовите их.

2. Выразите следующие тригонометрические функции через тригонометрические функции половинного угла: $\sin 4 x , \cos 6 x , \operatorname{tg} \frac{x}{4} .$