Конспект урока: Уравнение cos x = a

План урока

• Арккосинус числа.
• Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\cos x = a$.
• Вычисление значений тригонометрических выражений.
• Частные случаи решения уравнения $\cos x = a$.
• Решение уравнений.

Цели урока

• Знать определение арккосинуса числа.
• Знать формулу решения уравнения $\cos x = a$.
• Знать частные случаи решения уравнения $\cos x = a$.
• Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\cos x = a$.
• Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, абсцисса которой равна $\frac{1}{2}$(Рис. 1). 

 

Найти:

• Ординату точки В.
• Меру угла $\alpha$ в радианах.
• Координаты точки С.
• Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
• Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения $\mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{o}} \mathbf{\mathit{s}} \mathbf{\mathit{x}} = \mathbf{\mathit{a}}$

Рассмотрим один из видов простейших тригонометрических  уравнений, а именно $\cos x = a$. 

По определению, косинус угла — это абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол $\alpha$. Значит, корни уравнения — углы поворота точки (1; 0) в точку единичной окружности с абсциссой $a$. Из определения следует, что $| \cos \alpha | \leq 1 .$ Если $| a | > 1 ,$ т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение $\cos x = a$ корней иметь не будет. Например, уравнение  $\cos x = - 2$.

Решить уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Решение

Рис. 2. Решение уравнения  1

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ абсциссы равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 2). Помним, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} .$ Тогда, для того, чтобы получить   точку    $B_{1}$   нужно   повернуть   точку

А(1; 0) на угол $x_{1} = \frac{\pi}{4} .$ Но в нее же можно попасть и при повороте на угол $x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Точка $B_{2}$ получается из А(1; 0) поворотом на $x_{2} = - \frac{\pi}{4} ,$ и на углы $x = - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Все эти формулы решений для уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$обычно пишут так: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

Решить уравнение $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2

 

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ абсциссы равны $- \frac{\sqrt{2}}{2}$(Рис. 3). $- \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{3 \pi}{4} ,$ значит, $x_{1} = \frac{3 \pi}{4} ,$ а $x_{2} = - \frac{3 \pi}{4} .$ Тогда все решения уравнения  $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно задать формулой $x = \pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $\pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $[ 0 ; \pi \left]\right.$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x = \frac{\pi}{4} ,$ число $\frac{\pi}{4}$ называют арккосинусом числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (обозначают $\frac{\pi}{4} = a r c \cos \frac{\sqrt{2}}{2}$); для второго — $x = \frac{3 \pi}{4} ,$ называют арккосинусом числа  ($- \frac{\sqrt{2}}{2}$) (обозначают $\frac{3 \pi}{4} = a r c \cos ( - \frac{\sqrt{2}}{2} ) ) .$

Вообще говоря, уравнение $\cos x = a$ при $| a | \leq 1$ (или, другими словами, при $- 1 \leq a \leq 1$) имеет единственный корень на отрезке $[ 0 ; \pi \left]\right.$, причем, если $a \geq 0 ,$ то корень лежит на отрезке $[ 0 ; \frac{\pi}{2} \left]\right.$ , если $a < 0$, то на промежутке $( \frac{\pi}{2} ; \pi \left]\right.$ и этот корень называется арккосинусом числа $a ( a r c \cos a ) .$

Вычислить:

а) $\frac{1}{2} a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} a r c \cos ( - \frac{\sqrt{2}}{2} ) ;$

б) $a r c \cos ( \cos \frac{7 \pi}{6} ) ;$

в) $\sin ( a r c \cos 0,8 ) .$

Решение

а) Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, то $a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2}$ — число из промежутка $[ 0 ; \frac{\pi}{2} \left]\right. ,$ косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Значит, $a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} .$

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < 0 ,$ отсюда $a r c \cos ( - \frac{\sqrt{2}}{2} )$ лежит в промежутке $( \frac{\pi}{2} ; \pi \left]\right. ,$ тогда $a r c \cos ( - \frac{\sqrt{2}}{2} ) = \pi - a r c \cos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4} .$

Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2} a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} a r c \cos ( - \frac{\sqrt{2}}{2} ) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \times \frac{3 \pi}{4} = \frac{13 \pi}{48} .$

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к.  $\frac{7 \pi}{6} \notin [ 0 ; \pi \left]\right. .$ Поэтому нужно найти число из $[ 0 ; \pi \left]\right. ,$ косинус которого будет равен $\cos \frac{7 \pi}{6} .$ Так как $\cos ( \pi + \alpha ) = \cos ( \pi - \alpha )$ (можно доказать, применив формулы косинусы суммы и разности аргументов), то $\cos \frac{7 \pi}{6} = \cos ( \pi + \frac{\pi}{6} ) = \cos ( \pi - \frac{\pi}{6} ) = \cos \frac{5 \pi}{6}$, где $\frac{5 \pi}{6} \in [ 0 ; \pi \left]\right. .$  Тогда $a r c \cos ( \cos \frac{7 \pi}{6} ) = \frac{5 \pi}{6} .$

в) Пусть $\arccos 0,8 = x ,$ отсюда по определению арккосинуса числа $\cos x = 0,8 , x \in [ 0 ; \pi \left]\right. .$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\sin x ,$ где $x \in [ 0 ; \pi \left]\right. .$ По  следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что x лежит в I или II четверти, в которых синус угла положительный  $\sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x} = \sqrt{1 - 0,64} = 0,6 .$

Ответ: а) $\frac{13 \pi}{48} ;$

              б)$\frac{5 \pi}{6} ;$

              в)0,6.

Вычислить:

1. $2 a r c \cos ( - 1 ) + 5 a r c \cos 1 ;$

2. $\frac{1}{2} a r c \cos ( - \frac{1}{2} ) + \frac{1}{8} a r c \cos 0 ;$

3. $\sin ( \frac{\pi}{2} + a r c \cos \frac{3}{7} ) .$

Частные случаи решения уравнения $\mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{o}} \mathbf{\mathit{s}} \mathbf{\mathit{x}} = \mathbf{\mathit{a}}$

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению $\cos x = a$, когда $a = 0 , a = 1 , a = - 1$.

$\cos x = 0 ,$            $x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in Z ,$          (5)

$\cos x = 1 ,$            $x = 2 \pi k , k \in Z ,$                  (6)

$\cos x = - 1 ,$        $x = \pi + 2 \pi k , k \in Z .$          (7)

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения $\cos x = a$.

а) $3 \cos x = 1 ;$

б) $\cos ( 2 x + \frac{\pi}{3} ) = 0 ;$

в) $4 \cos^{2} x - 3 = 0 .$

Решение

Рис. 4 Диаметрально противоположные точки

а) Разделим обе части уравнения на 3: $\cos x = \frac{1}{3} ,$ откуда по формуле (4) найдем корни $x = \pm a r c \cos \frac{1}{3} + 2 \pi k , k \in Z .$

 

б) По формуле (5) имеем $2 x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in Z ,$ откуда $2 x = \frac{\pi}{6} + \pi k , k \in Z .$ Выразим x: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z .$

 

в) Так как $\cos^{2} x = \frac{3}{4}$, то $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$  Решением первого уравнения является множество корней $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z ,$ второго — $x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z .$ По рис. 4 можно заметить, что $\frac{\pi}{6}$ и $- \frac{5 \pi}{6}$, $- \frac{\pi}{6}$ и $\frac{5 \pi}{6}$ диаметрально противоположные точки, тогда эти множества решений можно объединить $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: а)$\pm a r c \cos \frac{1}{3} + 2 \pi k , k \in Z .$

              б) $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z ;$

              в) $\pm \frac{\pi}{6} + \pi k , k \in Z .$

Решить уравнение:

1. $\cos \frac{x}{3} = 0 ;$

2. $2 \cos^{2} x - 1 = 0,5 ;$

3. $2 \cos ( \frac{\pi}{6} + 2 x ) = - 1 .$