Конспект урока: Свойства логарифмов

Вычислить:
 

а) $\log_{0,5} 1$;

б) $\log_{15} 3 + \log_{15} 5$;

в) $\log_{8} 32 - \log_{8} 4$;

г) $\log_{15} \sqrt[3]{225}$;

д) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{243}}$;

е) $5^{2 + \log_{5} 3}$;

ж) $\log_{8} \log_{4} \log_{2} 16$;

з) $\log_{3} 15 - \log_{3} \frac{5}{9} + \log_{3} \frac{1}{81}$;

и) $\log_{7} \frac{1}{7} + 9^{\log_{3} 7}$;

к) $\frac{\log_{6} 216}{\log_{7} 343}$.

Решение

а) $\log_{0,5} 1$.

По определению логарифм это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма. Чтобы получить 1, основание 0,5 нужно возвести в нулевую степень, поэтому $\log_{0,5} 1 = 0 .$

б) $\log_{15} 3 + \log_{15} 5$.

По свойству 3 сумма логарифмов нескольких чисел равна логарифму произведения этих чисел, т.е. $\log_{15} 3 + \log_{15} 5 = \log_{15} ( 3 \times 5 ) = \log_{15} 15 .$ А это в свою очередь по свойству 1 равно 1, $\log_{15} 15 = 1$.

в) $\log_{8} 32 - \log_{8} 4$.

Воспользуемся свойством 4: разность логарифмов нескольких чисел равна логарифму частного этих чисел, т.е. $\log_{8} 32 - \log_{8} 4 = \log_{8} \frac{32}{4} = \log_{8} 8 = 1$.

г)  $\log_{15} \sqrt[3]{225}$.

Перепишем это выражение в виде $\log_{15} 225^{\frac{1}{3}} .$ Применим свойство степени и свойство 5 логарифмов: $\log_{15} \left(15^{2}\right)^{\frac{1}{3}} = \log_{15} 15^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \log_{15} 15 = \frac{2}{3} .$

д) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{243}} = \log_{3} \frac{1}{\left( 3^{5} \right)^{\frac{1}{4}}} = \log_{3} 1 - \log_{3} 3^{\frac{5}{4}} = 0 - \frac{5}{4} = - 1 \frac{1}{4} .$

е) $5^{2 + \log_{5} 3} = 5^{2} \times 5^{\log_{5} 3} = 25 \times 3 = 75$

ж) $\log_{8} \log_{4} \log_{2} 16$.

Начнем вычислять значение выражения с внутреннего логарифма, постепенно переходя к внешнему: $\log_{8} \log_{4} 4 = \log_{8} 1 = 0$.

з) $\log_{3} 15 - \log_{3} \frac{5}{9} + \log_{3} \frac{1}{81} = \log_{3} \frac{15}{\frac{5}{9}} + \log_{3} \frac{1}{81} = \log_{3} 27 + \log_{3} \frac{1}{81} = 3 - 4 = - 1$.

и) $\log_{7} \frac{1}{7} + 9^{\log_{3} 7} = - 1 + 3^{2 \log_{3} 7} = - 1 + 3^{\log_{3} 7^{2}} = - 1 + 49 = 48$.

к) $\frac{\log_{6} 216}{\log_{7} 343} = \frac{\log_{6} 6^{3}}{\log_{7} 7^{3}} = \frac{3 \log_{6} 6}{3 \log_{7} 7} = 1$.

Ответ: а) 0;  б) 1;  в) 1; г)$\frac{2}{3}$; д) $- 1 \frac{1}{4}$; е) 75; ж) 0;  з) -1;  и) 48;  к) 1.

Вычислить:

а) $\log_{3} \frac{1}{6} - \log_{3} 40,5 ;$

б) $2 \log_{10} 4 - \frac{1}{2} \log_{10} 2,56 ;$

в) $\frac{5}{3} \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[5]{8} - 3 \log_{\frac{2}{3}} 3 + \frac{1}{2} \log_{\frac{2}{3}} 36 .$

Зная, что $\log_{4} a = 16 , \log_{4} b = 9 ,$ найти:

a)$\log_{4} ( a b^{2} ) ;$

б)$\log_{4} \frac{\sqrt{b}}{a^{2}} .$

Решение

a)$\log_{4} ( a b^{2} ) = \log_{4} a + \log_{4} b^{2} = \log_{4} a + 2 \log_{4} b = 16 + 2 \times 9 = 34 ;$

б)$\log_{4} \frac{\sqrt{b}}{a^{2}} = \log_{4} \sqrt{b} - \log_{4} a^{2} = \frac{1}{2} \log_{4} b - 2 \log_{4} a = \frac{1}{2} \times 9 - 2 \times 16 = 4,5 - 32 =$

$= - 27,5$.

Ответ: а) 34;  б) -27,5.

Зная, что $\log_{3} x = 8 , \log_{3} y = 2 ,$ найти:

а) $\log_{3} ( x^{3} y^{2} ) ;$

б)$\log_{3} \frac{\sqrt[5]{x}}{y^{3}} .$

Каждое из чисел 1; 0; $- \frac{3}{4}$ записать в виде некоторого логарифма по основанию 5.

Решение

$1 = \log_{5} 5 ;$

$0 = \log_{5} 1 ;$

$- \frac{3}{4} = - \frac{3}{4} \times \log_{5} 5 = \log_{5} 5^{- \frac{3}{4}} = \log_{5} \frac{1}{\sqrt[4]{125}}$.

Ответ: $\log_{5} 5 ; \log_{5} 1 ; \log_{5} \frac{1}{\sqrt[4]{125}} .$

Каждое из чисел 0; -3; $\frac{2}{3}$ записать в виде некоторого логарифма по основанию 8.

Пусть x, y, z — положительные числа, $x \neq 1 .$Какие утверждения будут верными:

а) $\log_{x} y + \log_{x} z = \log_{x} ( y + z ) ;$

б) $\log_{x} y + \log_{x} z = \log_{x} ( y z ) ;$

в) $\log_{x} y - \log_{x} z = \log_{x} \frac{y}{z} ;$

г) $\log_{x} y - \log_{x} z = \log_{x} ( y - z ) ;$

д) $\log_{x} ( y z ) = \log_{x} y \times \log_{x} z ;$

е) $- 3 \log_{x} y = \log_{x} \frac{1}{y^{3}} .$