- Введение понятия логарифма, основного логарифмического тождества
- Решение заданий на вычисление значения логарифма
- Решение заданий на нахождение области допустимых значений логарифмического выражения
- Знать определение логарифма числа, основное логарифмического тождество
- Уметь выполнять преобразования выражений с логарифмами, находить значения логарифмических выражений, область допустимых значений логарифмических выражений
1. Как вы понимаете, что такое $n$-ая степень числа $a$ ($a^{n}$)? Как называется $a$? Как называется n?
2. Какие ограничения накладываются на a, b в показательном уравнении $a^{x} = b$?
3. Сколько решений имеет показательное уравнение $a^{x} = b$?
4. Решить уравнение:
a) $2^{x} = 8$ ;
б) $3^{x} = \frac{1}{81}$;
в) $\left( \frac{1}{2} \right)^{x} = 32$;
г) $5^{x} = 1$;
д) $4^{x} = - 4$;
e) $3^{x} = 80$.
Как мы уже знаем, чтобы решить показательное уравнение, нужно исходное уравнение свести к тому, чтобы в обеих частях были одинаковые основания степени и затем приравнять их показатели. Но, при решении последнего уравнения, такой прием не удается. Число 80 не является никакой степенью числа 3. Введем новое понятие:
Логарифмом положительного числa b по основанию a, где $a > 0 , a \neq 1$, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b:
$\log_{a} b = c a^{c} = b$ (1)
Тогда решением последнего уравнения $3^{x} = 80$ будет $x = \log_{3} 80$
Определение логарифма можно записать так:
$a^{\log_{a} b} = b .$ (2)
Равенство (2) называют основным логарифмическим тождеством. Оно имеет место при $a > 0 , a \neq 1 , b > 0 .$
Нахождение логарифма числа называется логарифмированием. Обратное ему действие, нахождение числа по его логарифму, — потенцированием.
Пример 1
Вычислить:
a) $\log_{3} 27$;
б)$\log_{3} \log_{5} 125$;
в)$\log_{4} 2$;
г)$\log_{6} 1$;
д)$\log_{4} \frac{1}{64}$;
е)$\log_{- 5} 4$;
ж)$\log_{2} 0$;
з)$15^{1 + \log_{15} ( 3 )}$;
и)$\log_{3 \sqrt{2}} \frac{1}{18}$;
к)$\left( 8 \right)^{\log_{2} \frac{1}{3}}$.
Решение
а) $\log_{3} 27$
Пусть $\log_{3} 27 = x$, тогда по определению логарифма $3^{x} = 27 ,$ откуда x=3, значит $\log_{3} 27 = 3$.
б) $\log_{3} \log_{5} 125$
Сначала вычислим значение внутреннего логарифма $\log_{5} 125 = 3$. Тогда внешний логарифм $\log_{3} 3 = 1 .$
в) $\log_{4} 2 = \frac{1}{2}$, т.к. $4^{\frac{1}{2}} = 2$;
г) $\log_{6} 1 = 0$, т.к. $6^{0} = 1$;
д) $\log_{4} \frac{1}{64} = - 3,4^{- 3} = \frac{1}{4^{3}} = \frac{1}{64}$;
е) $\log_{- 5} 4$
По определению логарифма $\log_{a} b$ на основание логарифма a накладывается ограничение, что $a > 0 , a \neq 1$. Здесь основание отрицательное, поэтому такой логарифм не существует.
ж) $\log_{2} 0$
Исходя из определения логарифма $\log_{a} b$ на b накладывается ограничение, что b>0. В данном выражении под знаком логарифма стоит нуль, значит, логарифм не существует.
з) $15^{1 + \log_{15} 3}$
Используя свойство степени, получим $15 \times 15^{\log_{15} 3} .$ По основному логарифмическому тождеству $15^{\log_{15} 3} = 3$. Тогда $15 \times 15^{\log_{15} 3} = 45 .$
и)$\log_{3 \sqrt{2}} \frac{1}{18}$
Внесем 3 под корень: $\log_{\sqrt{18}} \frac{1}{18}$. Пусть $\log_{\sqrt{18}} \frac{1}{18} = x .$Тогда по определению логарифма $\sqrt{18}^{x} = \frac{1}{18} , 18^{\frac{1}{2} x} = 18^{- 1} , \frac{1}{2} x = - 1 , x = - 2 .$
То есть $\log_{3 \sqrt{2}} \frac{1}{18} = - 2 .$
к) $\left( 8 \right)^{\log_{2} \frac{1}{3}}$
Пусть $\log_{2} \frac{1}{3} = x ,$ нужно найти значение выражения $8^{x}$. По определению логарифма $2^{x} = \frac{1}{3} .$
Тогда $8^{x} = \left( 2^{3} \right)^{x} = \left( 2^{x} \right)^{3} = \left( \frac{1}{3} \right)^{3} = \frac{1}{27} .$ Получили, что $8^{\log_{2} \frac{1}{3}} = \frac{1}{27} .$
Ответ: а) 3; б) 1; в) 2; г) 1; д)$\frac{1}{64}$; е) не существует; ж) не существует; з) 45; и) -2;
к) $\frac{1}{27}$.
Упражнение 1
Вычислить:
а) $\log_{6} 216$;
б) $\log_{3} \log_{7} 343$;
в) $\log_{2 \sqrt{3}} \frac{1}{12}$;
г) $\log_{\sqrt[6]{2}} 64$;
д) $4^{2 - \log_{4} 256}$;
е) $6^{\frac{2}{7} \log_{6} ( 8 \sqrt{2} )}$.
Пример 2
Выяснить, при каких значениях x выражение имеет смысл:
а) $\log_{3} \frac{x - 6}{x + 8}$;
б) $\log_{x + 1} ( x^{2} - 5 x - 14 )$.
Решение
а) $\log_{3} \frac{x - 6}{x + 8}$.
По определению $\log_{a} b$ имеет смысл, если $a > 0 , a \neq 1 , b > 0 .$ Здесь a=3>0. Тогда для того, чтобы найти ОДЗ этого выражения, осталось наложить лишь ограничение на b, т.е. $\frac{x - 6}{x + 8} > 0$. Решив это неравенство, получим $x \in ( - \infty ; - 8 ) \cup ( 6 ; + \infty ) .$
Ответ: $x \in ( - \infty ; - 8 ) \cup ( 6 ; + \infty ) .$
б) $\log_{x + 1} ( x^{2} - 5 x - 14 )$
Решение
$\log_{a} b$ имеет смысл, если $a > 0 , a \neq 1 , b > 0 .$ Тогда
$\begin{cases} x + 1 > 0 & \\ x + 1 \neq 1 & \\ x^{2} - 5 x - 14 > 0 & , \end{cases} \\$
$\begin{cases} x > - 1 & \\ x \neq 0 & \\ ( x - 7 ) ( x + 2 ) > 0 & \end{cases}$
Решение последнего неравенства системы: $x \in ( - \infty ; - 2 ) \cup ( 7 ; + \infty ) .$ Тогда решение системы: x>7.
Ответ: x>7.
Упражнение 2
Выяснить, при каких значениях x выражение имеет смысл:
a) $\log_{5} \frac{8 - 4 x}{x - 10}$;
б) $\log_{x + 2} ( x - 4 ) .$
Контрольные вопросы
1. Приведите пример, когдa $\log_{a} b$ — рациональное число.
2. Приведите пример, когдa $\log_{a} b$ — иррациональное число.
Упражнение 1
а) 3: б) 1; в) -2; г) 36; д) $\frac{1}{16}$; е) 2.
Упражнение 2
a) $x \in ( 2 ; 10 ) ;$
б) x>4.
