Конспект урока: Десятичные и натуральные логарифмы

Для того, чтобы вычислять значения логарифмов, составлены специальные таблицы. Также логарифмы можно вычислять с помощью микрокалькулятора. И в том, и в другом случае находят только десятичные и натуральные логарифмы.

Рис. 1

Для вычислений десятичных и натуральных логарифмов на микрокалькуляторе существуют клавиши log и ln (см. рис. 1).

 

А как же вычислять значения других логарифмов? Для этого используют формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$                                                 (1)

где $a > 0 , a \neq 1 , b > 0 , c > 0 , c \neq 1 .$

 

Кроме формулы (1) существуют частные случаи формулы перехода:

$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$, где $a > 0 , a \neq 1 , b > 0 , b \neq 1 .$  (2)

$\log_{a^{\alpha}} b^{\beta} = \frac{\beta}{\alpha} \log_{a} b$, где $a > 0 , a \neq 1 , b > 0 , \alpha \neq 0 .$  (3)

Зная, что $\lg 2 \approx 0,301 , \lg 3 \approx 0,477 , \lg 5 \approx 0,699$ найти значение выражения с точностью до сотых:

а)$\log_{5} 0,25 ;$

б)$\log_{2} 25 + \log_{5} 0,5 .$

Решение

а) $\log_{5} 0,25 = \log_{5} \frac{1}{4} = \log_{5} 2^{- 2} = - 2 \log_{5} 2 .$

Перейдем к основанию 10 по формуле (1): $- 2 \log_{5} 2 = - 2 \times \frac{\lg 2}{\lg 5} \approx - 2 \times \frac{0,301}{0,699} \approx - 0,86 .$

б) $\log_{2} 25 + \log_{5} 0,5 = 2 \log_{2} 5 + \log_{5} 2^{- 1} = 2 \log_{2} 5 - \log_{5} 2 .$

Воспользуемся формулой (1) для перехода к основанию  $10 : 2 \times \frac{\lg 5}{\lg 2} - \frac{\lg 2}{\lg 5} .$

Подставив вместо lg2 и lg5 их значения, получим $\log_{2} 25 + \log_{5} 0,5 \approx 4,21 .$

Ответ: а) -0,86;      б) 4,21.

Решите уравнения:
 

а)$\log_{3} x = \log_{3} 2 - 4 \log_{9} 5 ;$

б)$\left(\log_{3}\right)^{2} x - \log_{\sqrt{3}} x = \log_{5} 0,2 ;$

в)$\log_{5} x^{4} - 3 \log_{\frac{1}{5}} x = 14$.

Решение

a) $\log_{3} x = \log_{3} 2 - 4 \log_{9} 5 .$

ОДЗ: x>0.

Упростим правую часть уравнения: 
$\log_{3} 2 - 4 \log_{9} 5 = \log_{3} 2 - 4 \log_{3^{2}} 5 = \log_{3} 2 - \frac{4}{2} \log_{3} 5 = \log_{3} 2 - 2 \log_{3} 5 = \log_{3} 2 - - \log_{3} 25 = \log_{3} \frac{2}{25} .$

Тогда исходное уравнение перепишем в виде: $\log_{3} x = \log_{3} \frac{2}{25} ,$ откуда делаем вывод, что $x = \frac{2}{25}$.

Ответ:$\frac{2}{25}$

б) $\left(\log_{3}\right)^{2} x - \log_{\sqrt{3}} x = \log_{5} 0,2 .$

ОДЗ: x>0.

$\left(\log_{3}\right)^{2} x - \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \log_{5} \frac{1}{5}$

$\left(\log_{3}\right)^{2} x - 2 \log_{3} x + \log_{5} 5 = 0$

$\left(\log_{3}\right)^{2} x - 2 \log_{3} x + 1 = 0$.

Пусть $\log_{3} x = t ,$тогда уравнение примет вид $t^{2} - 2 t + 1 = 0 , ( \left(t - 1 \right)^{2} = 0 , t = 1 .$

Вернемся к исходной переменной: $\log_{3} x = 1 , x = 3 .$

Ответ: 3.

в) $\log_{5} x^{4} - 3 \log_{\frac{1}{5}} x = 14$

ОДЗ: x>0.

$4 \log_{5} x - 3 \log_{5^{- 1}} x = 14$

$4 \log_{5} x + 3 \log_{5} x = 14$

$7 \log_{5} x = 14$

$\log_{5} x = 2$

$x = 25$

Ответ: 25.

Выразите данные логарифмы через логарифм по основанию 2; по основанию 3

а) $\log_{128} 3$;  б)$\log_{\sqrt[5]{4}} 7$.

Решите уравнения:
 

а)$\log_{2} x - 2 \log_{x} 2 = 1 ;$

б)$\log_{6} x^{5} + 2 \log_{\frac{1}{6}} x = 9 .$

Какое(ие) из приведенных соотношений верны?
 

а) $\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{3} 5 - 2$;

б)$\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{2} 5$;

в)$\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{5} 2$;

г)$\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{3} \frac{5}{2}$.