Конспект урока: Центр масс. Теорема о движении центра масс

Центр масс. Теорема о движении центра масс

Пусть имеется система из 𝑁 материальных точек, массами m₁, m₂, m₃ … m_N. Положение данных точек задано радиус-векторами $\overrightarrow{r}_{1}$, $\overrightarrow{r}_{2}$, $\overrightarrow{r}_{3}$ … $\overrightarrow{r}_{N}$ (рис. 1).

Рис. 1. Система из N материальных точек, положение которых задано радиус-векторами

Координаты центра масс можно найти по следующим формулам:

 

$x_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} + m_{3} \cdot x_{3} + . . . + m_{N} \cdot x_{N}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{N}}$;

 

$y_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot y_{1} + m_{2} \cdot y_{2} + m_{3} \cdot y_{3} + . . . + m_{N} \cdot y_{N}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{N}}$;

 

$z_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot z_{1} + m_{2} \cdot z_{2} + m_{3} \cdot z_{3} + . . . + m_{N} \cdot z_{N}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{N}}$.

 

Используем эти выражения для определения центра масс системы, состоящей из двух материальных точек, массы которых равны m₁ и m₂ соответственно. Абсциссы материальных точек равны x₁ и x₂, точки лежат на оси ОХ (рис. 2).

Из уравнения находим абсциссу центра масс:

Рис. 2. Определение координаты центра масс системы из двух материальных точек

$x_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$.

 

Так как точки лежат на оси ОХ, оставшиеся координаты центра масс равны нулю: $y_{\text{цм}}$ = 0, $z_{\text{цм}}$ = 0.

 

Из уравнения выше понятно, что центр масс данной системы лежит на оси абсцисс между точками с координатами x₁ и x₂.

В случае, когда массы материальных точек равны m₁ = m₂, выражение принимает следующий вид:

Рис. 3. Положение центра масс двух материальных точек при различных соотношениях их масс

$x_{\text{цм}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$.

 

Данное выражение показывает, что центр масс двух материальных точек, имеющих одинаковые массы, находится в середине отрезка, соединяющего данные точки (рис. 3, а).

В случае, когда m₁ > m₂, центр масс будет расположен ближе к материальной точке массой m₁ (рис. 3, б); когда m₁ < m₂, центр масс будет расположен ближе к материальной точке массой m₂ (рис. 3, в).

Для доказательства теоремы о движении центра масс рассмотрим достаточно малый промежуток времени Δt, такой, что движение материальной точки на данном отрезке времени можно считать равномерным прямолинейным. Перемещение $\Delta \overrightarrow{r}_{1}$ первой точки, движущейся со скоростью $\overrightarrow{v}_{1}$ за данный промежуток времени:
 

$\Delta \overrightarrow{r}_{1} = \overrightarrow{v}_{1} \cdot \Delta t$.
 

Перемещение остальных точек системы и центра масс будет $\Delta \overrightarrow{r}_{2} = \overrightarrow{v}_{2} \cdot \Delta t$,$\Delta \overrightarrow{r}_{3} = \overrightarrow{v}_{3} \cdot \Delta t$, …, $\Delta \overrightarrow{r}_{N} = \overrightarrow{v}_{N} \cdot \Delta t$ и $\Delta \overrightarrow{r}_{\text{цм}} = \overrightarrow{v}_{\text{цм}} \cdot \Delta t$ соответственно.
 

Подставим полученные выражения для перемещений в формулу:
 

$\overrightarrow{v}_{\text{цм}} \cdot \Delta t = \frac{m_{1} \cdot \overrightarrow{v}_{1} \cdot \Delta t + m_{2} \cdot \overrightarrow{v}_{2} \cdot \Delta t + . . . + m_{N} \cdot \overrightarrow{v}_{N} \cdot \Delta t}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$.
 

Сократим обе части уравнения на величину Δt:

$\overrightarrow{v}_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot \overrightarrow{v}_{1} + m_{2} \cdot \overrightarrow{v}_{2} + . . . + m_{N} \cdot \overrightarrow{v}_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$.

В течение достаточно малого промежутка времени Δt силы, действующие на каждую из материальных точек системы, можно считать постоянными. Тогда в соответствии с определением изменения импульса для первой точки справедливо следующее равенство:
 

$m_{1} \cdot \Delta \overrightarrow{v}_{1} = \Delta \overrightarrow{p}_{1} = \left(\overrightarrow{F}_{12} + \overrightarrow{F}_{13} + . . . + \overrightarrow{F}_{1 N} + \overrightarrow{F}_{1 ex}\right) \cdot \Delta t$.
 

Для остальных материальных точек изменение импульса можно рассчитать аналогичным образом.
 

В соответствии с уравнением изменение скорости центра масс за промежуток времени Δt равно
 

$\Delta \overrightarrow{v}_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot \Delta \overrightarrow{v}_{1} + m_{2} \cdot \Delta \overrightarrow{v}_{2} + . . . + m_{N} \cdot \Delta \overrightarrow{v}_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$.
 

Подставим в уравнение выше выражения для изменения импульсов материальных точек системы за время Δt, аналогичные выражению $m_{1} \cdot \Delta \overrightarrow{v}_{1} = \Delta \overrightarrow{p}_{1} = \left(\overrightarrow{F}_{12} + \overrightarrow{F}_{13} + . . . + \overrightarrow{F}_{1 N} + \overrightarrow{F}_{1 ex}\right) \cdot \Delta t$. Сумма внутренних сил в числителе правой части уравнения окажется равной нулю в соответствии с третьим законом Ньютона. Полученное выражение разделим на величину Δt, в результате получится следующее выражение:

$\overrightarrow{a}_{\text{цм}} = \frac{\Delta \overrightarrow{v}_{\text{цм}}}{\Delta t} = \frac{\overrightarrow{F}_{1 \text{ex}} + \overrightarrow{F}_{2 ex} + . . . + \overrightarrow{F}_{Nex}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$.

Заметим, что соотношение $\overrightarrow{v}_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot \overrightarrow{v}_{1} + m_{2} \cdot \overrightarrow{v}_{2} + . . . + m_{N} \cdot \overrightarrow{v}_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$ можно записать в ином виде:
 

$\left(m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}\right) \cdot \overrightarrow{v}_{\text{цм}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{v}_{1} + m_{2} \cdot \overrightarrow{v}_{2} + . . . + m_{N} \cdot \overrightarrow{v}_{N}$.
 

Данное выражение показывает, что суммарный импульс системы материальных точек равен произведению суммы масс данных точек на скорость движения центра масс.
 

Пусть масса всех материальных точек, входящих в систему, равна m, а сумма всех действующих на систему внешних сил равна $\overrightarrow{F}_{ex}$. Тогда выражение $\overrightarrow{a}_{\text{цм}} = \frac{\overrightarrow{F}_{1 \text{ex}} + \overrightarrow{F}_{2 ex} + \overrightarrow{F}_{3 ex} + . . . + \overrightarrow{F}_{Nex}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{N}}$ можно записать следующим образом:
 

$\overrightarrow{a}_{\text{цм}} = \frac{\overrightarrow{F}_{ex}}{m}$.
 

Это выражение соответствует второму закону Ньютона, описывающему движение материальной точки. Отсюда следует важный вывод.

Понятно, что если известны $\overrightarrow{F}_{ex}$ и m, то уравнение выше позволяет рассчитать ускорение центра масс рассматриваемого тела в ИСО. При замене реального тела материальной точкой для решения задач динамики найденное ускорение является ускорением центра масс рассматриваемого тела, а не какой-либо другой его точки.

Подчеркнём, что между взаимодействующими частями тела присутствуют внутренние силы, но их действие не оказывает влияния на ускорение центра масс в ИСО.

Пример решения задачи

Решение
 

1. Пренебрежём силами сопротивления среды. Инерциальную систему отсчёта свяжем с неподвижной пристанью. Ось ОХ направим горизонтально влево. Человека и лодку представим как систему материальных точек.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

2. В начальный момент времени координаты человека и центра масс лодки равны соответственно L и $l_{1}$. Используя соотношение, найдём координату центра масс системы в начальный момент времени:
 

$x_{\text{цм} 0} = \frac{m_{1} \cdot l_{1} + m_{2} \cdot L}{m_{1} + m_{2}}$.
 

После того как человек переместился на нос лодки, его координата стала равна $l$, а координата центра масс лодки — $l_{1} + l$. По формуле находим координату центра масс системы в конечный момент времени:
 

$x_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot \left(l_{1} + l\right) + m_{2} \cdot l}{m_{1} + m_{2}}$.

3. Так как внешние силы сопротивления среды в системе отсутствуют, в соответствии с уравнением ускорение центра масс системы равно нулю. Следовательно, положение центра масс остаётся неизменным:
 

$x_{\text{цм} 0} = x_{\text{цм}}$.
 

4. Подставляем в выражение выше уравнения и выражаем расстояние $l$, на которое сместилась лодка:

 

$\frac{m_{1} \cdot l_{1} + m_{2} \cdot L}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} \cdot \left(l_{1} + l\right) + m_{2} \cdot l}{m_{1} + m_{2}}$;

 

$l = \frac{m_{2} \cdot L}{m_{1} + m_{2}} = \frac{50 \cdot 10}{150 + 50} = 2,5 \text{м}$.

 

Ответ: $l = 2,5 \text{м}$.

Итоги

• Центром масс системы, состоящей из N материальных точек, называется точка, радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений массы каждой точки на её радиус-вектор к сумме масс всех точек, входящих в систему: $\overrightarrow{r}_{\text{цм}} = \frac{m_{1} \cdot \overrightarrow{r}_{1} + m_{2} \cdot \overrightarrow{r}_{2} + m_{3} \cdot \overrightarrow{r}_{3} + . . . + m_{N} \cdot \overrightarrow{r}_{N}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{N}}$.
• Теорема о движении центра масс: ускорение центра масс системы, которая состоит из N материальных точек, в ИСО равно отношению суммы всех внешних сил, действующих на данные точки, к сумме масс всех материальных точек данной системы: $\overrightarrow{a}_{\text{цм}} = \frac{\overrightarrow{F}_{1 \text{ex}} + \overrightarrow{F}_{2 ex} + \overrightarrow{F}_{3 ex} + . . . + \overrightarrow{F}_{Nex}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{N}}$.
• Любое реальное тело, имеющее конечные размеры, можно представить как совокупность большого количества материальных точек.