Конспект урока: Кинетическая энергия. Потенциальная энергия

Кинетическая энергия

Известно, что при совершении положительной работы над материальной точкой её скорость увеличивается, при совершении отрицательной работы — уменьшается. Определим математическую связь между работой и изменением скорости тела.

Рис. 1. Сила F совершает положительную работу над телом

Пусть тело массой $m$ движется в положительном направлении оси ОХ (рис. 1). Начальная скорость тела равна $\overrightarrow{v_{0}}$.

На тело начинает действовать постоянная сила $\overrightarrow{F}$, сонаправленная с вектором перемещения $\Delta \overrightarrow{x}$. В данном случае сила совершает положительную работу, следовательно, тело приобретёт некоторое положительное ускорение, которое можно найти по второму закону Ньютона:

 

$a = \frac{F}{m}$.

Скорость тела через время $t$ можно найти по закону изменения скорости для равноускоренного движения:
 

$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{0}} + \overrightarrow{a} \cdot t$.
 

Запишем данное выражение в проекциях на ось ОХ:
 

$v = v_{0} + a \cdot t$.
 

Проекция модуля перемещения тела на ось ОХ за время $t$:
 

$\Delta x = v_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$.
 

Выразим из формулы $v = v_{0} + a \cdot t$ время $t$ и подставим полученное выражение в формулу выше:
 

$\Delta x = v_{0} \cdot \left(\frac{v - v_{0}}{a}\right) + \frac{a \cdot \left(v - v_{0}\right)^{2}}{2 a^{2}} = \frac{v_{0} \cdot 2 a \cdot \left(v - v_{0}\right)}{2 a^{2}} + \frac{a \cdot \left(v - v_{0}\right)^{2}}{2 a^{2}} = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a}$.

Умножим обе части уравнения на $F$ и учтём, что по второму закону Ньютона $F = m \cdot a$:
 

$F \cdot \Delta x = F \cdot \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a} \Leftrightarrow A = m \cdot a \cdot \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a} \Leftrightarrow A = \frac{m \cdot v^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{0}^{2}}{2}$.
 

Физическая величина, равная $\frac{m \cdot v^{2}}{2}$ называется кинетической энергией тела $E_{\text{кин}}$:
 

$E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$,
 

где $E_{\text{кин}}$ [Дж] — кинетическая энергия тела;
$m$ [кг] — масса тела;
$v$ [м/с] — скорость тела в инерциальной системе отсчёта.

Таким образом, работа, совершённая над телом, равна изменению его кинетической энергии в инерциальной системе отсчёта:
 

$A = E_{\text{кин}} - E_{\text{кин} 0} = \Delta E_{\text{кин}}$.
 

Это соотношение выполняется не только в случае прямолинейного движения под действием постоянной силы $\overrightarrow{F}$, но и в случае, если траектория тела криволинейная, а сила $\overrightarrow{F}$ изменяется с течением времени.

Теорема об изменении кинетической энергии позволяет выяснить, в чём заключается физический смысл кинетической энергии. Пусть материальная точка покоится в инерциальной системе отсчёта. В этом случае её начальная кинетическая энергия также равна нулю $E_{\text{кин} 0} = 0$. При совершении над материальной точкой работы $A$ её кинетическая энергия будет равна совершённой работе:

$A = E_{\text{кин}} - E_{\text{кин} 0} = E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$.

Справедливо и обратное утверждение. Если в инерциальной системе отсчёта материальная точка имеет некоторую скорость $v$, то при совершении над точкой отрицательной работы $A$, равной её начальной кинетической энергии, конечная кинетическая энергия данной точки станет равна нулю. В процессе торможения материальная точка совершит положительную работу, равную по модулю работе тормозящих сил.

Рассмотрим систему материальных точек, имеющих скорости, отличные от нуля. Кинетические энергии точек равны соответственно $\left(E_{\text{кин}}\right)_{1} = \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{2}}{2}$, $\left(E_{\text{кин}}\right)_{2} = \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{2}}{2}$ … $\left(E_{\text{кин}}\right)_{n} = \frac{m_{n} \cdot v_{n}^{2}}{2}$. Каждая из этих точек при уменьшении своей скорости до нуля сможет совершить работу, равную её кинетической энергии: $A_{1} = E_{\text{кин} 1}$, $A_{2} = E_{\text{кин} 2}$ … $A_{n} = E_{\text{кин} n}$. Тогда система материальных точек совершит работу

$A = A_{1} + A_{2} + . . . + A_{n} = E_{\text{кин} 1} + E_{\text{кин} 2} + . . . + E_{\text{кин} n}$.
 

Таким образом, работа системы материальных точек равна сумме кинетических энергий всех точек системы.

Пример решения задачи

Итоги

• Кинетическая энергия тела $E_{\text{кин}}$ — это физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости в ИСО: $E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$.
• Кинетическая энергия материальной точки равна работе $A$, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость материальной точки от нуля до значения $v$.
• Кинетическая энергия материальной точки равна работе $A$, которую она может совершить над другими телами при уменьшении своей скорости от некоторого значения $v$ до нуля.
• Теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки в ИСО при её перемещении равно работе, совершённой силой, действующей на точку при этом перемещении: $A = \Delta E_{\text{кин}}$.
• Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетических энергий: $E_{\text{кин}} = E_{\text{кин} 1} + E_{\text{кин} 2} + . . . + E_{\text{кин} n}$.

Упражнение 1

1. $E_{\text{кин}} \approx 79$ Дж

2. $37,5$ кН