- Основные формулы
- Примеры решения задач
- знать основные формулы для законов сохранения импульса и механической энергии
- уметь применять закон сохранения импульса
- уметь применять закон сохранения энергии
- Какие тела обладают кинетической энергией?
- Что называют импульсом тела?
- Какие удары называются упругими, а какие абсолютно неупругими?
Основные формулы
Перечислим основные формулы и законы, которые нам понадобятся для решения задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии.
- Импульс тела:
$\overrightarrow{p} = m \cdot \overrightarrow{v}$.
- Закон сохранения импульса при абсолютно упругом ударе двух тел:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{v_{2}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{u_{1}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{u_{2}}$.
- Закон сохранения импульса при неупругом ударе двух тел:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{v_{2}} = ( m_{1} + m_{2} ) \cdot \overrightarrow{u}$.
- Кинетическая энергия тела, двигающегося со скоростью $v$:
$E_{\text{к}} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$.
- Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту $h$:
$E_{\text{п}} = m \cdot g \cdot h$.
- Потенциальная энергия упруго деформированной пружины, растянутой или сжатой на расстояние $\Delta x$ от положения равновесия:
$E_{\text{п}} = \frac{k \cdot \Delta x^{2}}{2}$.
- Закон изменения полной механической энергии системы тел:
$A = \Delta E_{\text{м}ex} = E_{\text{м}ex}^{\text{к}o\text{н}} - E_{\text{м}ex}^{\text{н}a\text{ч}}$,
где $A = A_{\text{тр}} + A_{e x}$ — сумма работ внутренних сил трения $A_{\text{тр}}$ и внешних сил $A_{e x}$ над телами системы; $E_{\text{м}ex}^{\text{к}o\text{н}}$ и $E_{\text{м}ex}^{\text{н}a\text{ч}}$ — конечная и начальная механические энергии системы тел соответственно.
- В случае когда суммарная работа внутренних сил трения $A_{\text{тр}}$ и внешних сил $A_{e x}$ над телами системы равна нулю, механическая энергия сохраняется:
$E_{\text{м}ex} = E_{1 \text{п}} + E_{1 \text{к}} = E_{2 \text{п}} + E_{2 \text{к}}$;
$m \cdot g \cdot h_{1} + \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2}$.
Примеры решения задач
Пример 1
Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули $m_{1}$ = 8 г, масса шара $m_{2}$ = 0,9 кг. Скорость пули $v$ = 400 м/с. При каком предельном расстоянии $l$ от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?
Решение
1. Перечислим исходные данные:
$\begin{cases} m_{1} = 8 \text{г} = 8 \cdot 10^{- 3} \text{кг} \\ m_{2} = 0,9 \text{кг} \\ v = 400 \frac{\text{м}}{c} \\ l - ? \end{cases}$.
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
2. Примем рассматриваемые тела за материальные точки, а инерциальную систему отсчёта свяжем с Землёй. Рассмотрим, как будет происходить физический процесс (см. рис. 1). Пуля летит, попадает в шар, происходит неупругий удар. Теперь приходит в движение система «шар + пуля», траектория движения которой представляет собой дугу окружности.
3. Зададимся вопросом, какие физические законы следует применить для решения задачи. Чтобы понять, с какой скоростью начнёт двигаться система «шар + пуля» сразу после столкновения, применим закон сохранения импульса для неупругого удара:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{v} = ( m_{1} + m_{2} ) \cdot \overrightarrow{u}$.
Направим ось OX горизонтально вправо и спроецируем скорости:
$m_{1} \cdot v = ( m_{1} + m_{2} ) \cdot u$.
Выразим скорость системы «шар + пуля»:
$u = \frac{m_{1} \cdot v}{m_{1} + m_{2}}$.
4. В результате столкновения пули с шаром система приобретает кинетическую энергию, которая в наивысшей точке движения перейдёт полностью в потенциальную. На рисунке отмечен нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда в наивысшей точке система «шар + пуля» будет иметь потенциальную энергию
$E_{\text{п}} = \left(m_{1} + m_{2}\right) \cdot g \cdot 2 l = 2 \cdot \left(m_{1} + m_{2}\right) \cdot g \cdot l$.
Воспользуемся законом сохранения энергии для системы «шар + пуля»:
$\frac{\left(m_{1} + m_{2}\right) \cdot u^{2}}{2} = 2 \cdot \left(m_{1} + m_{2}\right) \cdot g \cdot l$.
Подставим формулу в выражение выше и выразим оттуда $l$:
$\frac{\left(m_{1} + m_{2}\right)}{2} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot v}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} = 2 \cdot \left(m_{1} + m_{2}\right) \cdot g \cdot l$;
$l = \frac{m_{1}^{2} \cdot v^{2}}{4 g \cdot \left(m_{1} + m_{2}\right)^{2}}$
5. Найдём численное значение:
$l = \frac{\left(8 \cdot 10^{- 3}\right)^{2} \cdot 400^{2}}{4 \cdot 10 \cdot \left(8 \cdot 10^{- 3} + 0,9\right)^{2}} = 0,31 \text{м}$.
Ответ: $l = 0,31 \text{м}$.
Пример 2
Разберём качественную задачу, решение которой будет полезно при решении задач на законы сохранения. Два шара массами $m_{1}$, $m_{2}$ двигаются навстречу друг другу со скоростями $v_{1}$, $v_{2}$ в горизонтальном направлении. Определить скорости шаров в результате центрального абсолютно упругого удара.
Решение
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
1. Первым делом разберёмся с терминологией. Абсолютно упругий удар — это такой удар, в результате которого механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии, то есть энергия сохраняется. А центральный удар — это удар, при котором тела двигаются вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел. Рассмотрим случай, в котором шары после удара разлетелись в противоположные стороны.
2. Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему. Тогда для центрального абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса (ЗСИ) и закон сохранения энергии (ЗСЭ).
Начнём с ЗСИ:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{v_{2}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{u_{1}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{u_{2}}$.
Спроецируем скорости на ось ОХ:
$OX : m_{1} \cdot v_{1} - m_{2} \cdot v_{2} = - m_{1} \cdot u_{1} + m_{2} \cdot u_{2}$.
Запишем ЗСЭ:
$\frac{m_{1} \cdot v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1} \cdot u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot u_{2}^{2}}{2}$.
3. Наша задача — решить систему уравнений относительно величин $u_{1}$ и $u_{2}$.
$\begin{cases} m_{1} \cdot v_{1} - m_{2} \cdot v_{2} = - m_{1} \cdot u_{1} + m_{2} \cdot u_{2} \\ \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1} \cdot u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot u_{2}^{2}}{2} \end{cases}$.
Преобразуем систему:
$\left\{\begin{array}{l} m_{1} \cdot \left(v_{1} + u_{1}\right) = m_{2} \cdot \left(v_{2} + u_{2}\right) \\ m_{1} \cdot \left(v_{1}^{2} - u_{1}^{2}\right) = m_{2} \cdot \left(u_{2}^{2} - v_{2}^{2}\right) \end{array}\right.$,
$\left\{\begin{array}{l} m_{1} \cdot \left(v_{1} + u_{1}\right) = m_{2} \cdot \left(v_{2} + u_{2}\right) \\ m_{1} \cdot \left(v_{1} + u_{1}\right) \cdot \left(v_{1} - u_{1}\right) = m_{2} \cdot \left(v_{2} + u_{2}\right) \cdot \left(u_{2} - v_{2}\right) \end{array}\right.$.
Поделим второе уравнение системы на первое:
$v_{1} - u_{1} = u_{2} - v_{2} \rightarrow u_{1} = v_{1} - u_{2} + v_{2}$.
Теперь рассмотрим новую систему, которая легко решается:
$\left\{\begin{array}{l} m_{1} \cdot \left(v_{1} + u_{1}\right) = m_{2} \cdot \left(v_{2} + u_{2}\right) \\ u_{1} = v_{1} - u_{2} + v_{2} \end{array}\right.$.
4. После небольших преобразований получаем выражения для скоростей:
$\left\{\begin{array}{l} u_{1} = \frac{v_{1} \cdot \left(m_{2} - m_{1}\right) + 2 m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ u_{2} = \frac{v_{2} \cdot \left(m_{1} - m_{2}\right) + 2 m_{1} \cdot v_{1}}{m_{1} + m_{2}} \end{array}\right.$.
5. Из анализов конечного результата можно заметить, что если массы шаров одинаковы, то тела просто обмениваются скоростями:
$u_{1} = v_{2}$;
$u_{2} = v_{1}$.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
6. Возможна ситуация, когда шары после удара двигаются в одном направлении.
Решение такой задачи аналогично предыдущей, но с учётом новых проекций скоростей.
$\left\{\begin{array}{l} u_{1} = \frac{v_{1} \cdot \left(m_{1} - m_{2}\right) + 2 m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ u_{2} = \frac{v_{2} \cdot \left(m_{1} - m_{2}\right) + 2 m_{1} \cdot v_{1}}{m_{1} + m_{2}} \end{array}\right.$
При абсолютно неупругом ударе закон сохранения импульса выполняется, а закон сохранения энергии — нет. Энергия может выделиться в виде теплоты или пойти на изменение внутренней энергии тел.
В случае абсолютно упругого удара выполняется как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии.
Пример 3
На столе лежит невесомая пружина жёсткостью 1 кН/м, прикреплённая одним концом к грузу массой 0,2 кг, а другим к стене. Груз сдвигают, сжимая пружину, и отпускают. Найдите длину, на которую сжали пружину, если после отпускания груза его скорость достигла величины 3 м/с. Трением пренебречь.
Решение
1. Перечислим исходные данные:
$\begin{cases} m = 0,2 \text{кг} \\ k = 1 \frac{\text{к}H}{\text{м}} = 10^{3} \frac{H}{\text{м}} \\ v = 3 \frac{\text{м}}{c} \\ \Delta x - ? \end{cases}$.
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
2. Как только мы сожмём пружину, так сразу же в ней возникнет сила упругости, которая захочет вернуть пружину в исходное положение. По условию трением следует пренебречь, тогда система начнёт совершать гармонические колебания, во время которых энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую. Момент, когда пружина сжата, изображён на рисунке 4.
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Как только мы отпустим груз, так сразу пружина придёт в движение, и проходя положение равновесия, груз достигнет максимальной скорости (рис. 5).
3. Сила тяжести и сила реакции опоры направлены перпендикулярно направлению движения. Рассмотрим замкнутую систему «груз + пружина», для которой в отсутствие сил трения будет выполняться закон сохранения энергия:
$\frac{k \cdot \Delta x^{2}}{2} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$.
Выразим отсюда $\Delta x$:
$\Delta x = \sqrt{\frac{m \cdot v^{2}}{k}} = \sqrt{\frac{0,2 \cdot 9}{10^{3}}} = 0,04 \text{м} = 4 c\text{м}$.
Ответ: $\Delta x = 4 c\text{м}$.
Упражнение 1
1. Груз массой 0,4 кг падает с некоторой высоты на подложку массой 2 кг, закреплённую на пружине. Определите наибольшее сжатие пружины, если в момент удара скорость груза равнялась 8 м/с. Жёсткость пружины $k$ = 1 кН/м.
2. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 800 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра 2 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 7°.
Контрольные вопросы
1. Как выглядит закон сохранения импульса при неупругом ударе?
2. Что такое центральный удар?
3. Что называют полной механической энергией?
Упражнение 1
1. ≈ 9,3 см
2. ≈ 437 м/с
