- Формулы объёмов;
- Примеры задач на комбинации тел.
- Уметь применять формулы объёмов;
- Уметь решать задачи на комбинации тел.
- Объёмы каких тел – это произведение площади основания на высоту?
- Во сколько раз изменится объём тетраэдра, если длины всех его ребер уменьшить в два раза?
- Чему равен объём тела, ограниченного полусферой?
Задачи на комбинации тел
Вспомним формулы объёмов многогранников и тел вращения.
Объём призмы с высотой $h$ можно вычислить по формуле:
$V = S_{\text{осн}} \cdot h$.
Формула для нахождения объёма пирамиды с высотой $h$ имеет вид:
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$.
Формулы для нахождения объёма цилиндра и конуса очень похожи на предыдущие. Но если принять во внимание, что основанием цилиндра и конуса всегда является круг радиуса $R$ с площадью $S = \pi R^{2}$, то объёмы этих тел вращения можно вычислить по формулам: $V = \pi R^{2} \cdot h$ и $V = \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot h$ соответственно, где $h$ - высота цилиндра или конуса.
Объём шара радиуса $R$ можно вычислить по формуле:
$V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
Пример 1
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9 (рис. 1). Боковые рёбра призмы равны 8. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение
Рис. 1. Прямая призма вписана в цилиндр
Объём цилиндра с радиусом основания $R$ можно вычислить по формуле
$V = \pi R^{2} h .$
Так как призма прямая, то её высота равна длине бокового ребра, следовательно, высота цилиндра также равна 8.
Чтобы найти радиус основания, необходимо найти длину гипотезы (если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза этого треугольника является диаметром). По теореме Пифагора гипотенуза $c$ равна:
$c = \sqrt{10^{2} + 9^{2}} = \sqrt{181}$.
Тогда
$R = \frac{D}{2} = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{181}}{2}$,
где $D$ – диаметр основания.
Подставим все найденные значения в формулу объёма цилиндра и вычислим:
$V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{181}}{2}\right)^{2} \cdot 8 = 362 \pi$.
Ответ: $362 \pi$.
Упражнение 1
1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны 6. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6,5. Найдите объем параллелепипеда.
Пример 2
Шар вписан в цилиндр (рис. 2). Площадь поверхности цилиндра равна $96 \pi$. Найдите объём шара.
Решение
Рис. 2. Шар вписан в цилиндр
Объём шара можно вычислить по формуле $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
Найдем радиус шара. Так как шар вписан в цилиндр, то радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара, т.е. $h = 2 R$.
Выразим радиус через формулу площади поверхности цилиндра:
$S_{\text{пов}} = S_{\text{бок}} + 2 S_{\text{осн}}$.
$S_{\text{пов}} = 2 \pi R h + 2 \pi R^{2} = 2 \pi R ( h + R ) = 2 \pi R ( 2 R + R ) = 6 \pi R^{2}$.
$R = \sqrt{\frac{S_{\text{пов}}}{6 \pi}} = \sqrt{\frac{96 \pi}{6 \pi}} = 4$.
Подставим значение радиуса в формулу объёма шара и вычислим его значение:
$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^{3} = \frac{256 \pi}{3}$.
Ответ: $\frac{256 \pi}{3}$.
Упражнение 2
1. Шар, объём которого равен 72, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
2. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объём этого шара.
Пример 3
Конус, высота которого равна радиусу основания, вписан в правильную четырехугольную пирамиду, объём которой равен 36. Найдите объём конуса.
Решение
Рис. 3. Конус вписан в четырехугольную пирамиду
Выразим объём конуса через радиус:
$V = \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^{3}$.
Основанием правильной пирамиды является квадрат, в который вписан круг (основание конуса). Значит, сторона основания пирамиды равна диаметру основания конуса, т.е. $a = 2 R .$
Тогда площадь основания пирамиды равна $S_{\text{осн}} = a^{2} = ( 2 R )^{2} = 4 R^{2}$.
Высоты пирамиды и конуса совпадают, значит, высота пирамиды тоже равна $R$.
Тогда формула объёма пирамиды примет вид:
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4 R^{2} \cdot R = \frac{4}{3} R^{3}$,
откуда
$R^{3} = \frac{3 V}{4} = \frac{3 \cdot 36}{4} = 27$.
Теперь можем найти объём конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 = 9 \pi$.
Ответ: $9 \pi$.
Упражнение 3
Рис. 4. Конус, вписанный в шар
1. Конус, высота которого равна радиусу основания, вписан в правильную треугольную пирамиду, объём которой равен $16 \sqrt{3}$. Найдите объём конуса.
2. Конус вписан в шар (рис. 4). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 13. Найдите объём шара.
Контрольные вопросы
1. В какую четырехугольную призму можно вписать шар? Почему?
2. В треугольную правильную пирамиду вписан конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$. Чему равны высота и сторона основания пирамиды?
Упражнение 1
1. $151,5 \pi$.
2. $1098,5$.
Упражнение 2
1. $108$.
2. $36 \pi$.
Упражнение 3
1. $\frac{16 \pi}{3}$.
2. $52$.