- Формула объёма цилиндра
- Решение заданий
- Знать формулу объёма цилиндра
- Уметь применять формулу объёма цилиндра при решении задач
- Что такое цилиндр?
- Чему равен объём прямой призмы, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро – 7?
- Как найти площадь основания цилиндра?
Объём цилиндра
Рис. 1. Призма вписана в цилиндр
В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями цилиндра. Например, трубопровод, по которому движутся нефть, газ, вода, жерло вулкана, кровеносные сосуды. Многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание. Вычисление объёма цилиндра – необходимый навык во многих областях.
Рис. 2. Призма описана около цилиндра
Вспомним, что призма вписана в цилиндр (рис. 1), если её основания вписаны в основания цилиндра, если же призма описана около цилиндра (рис. 2), то её основания описаны около оснований цилиндра. В обоих случаях высоты цилиндра и призмы равны.
Формула для вычисления объёма цилиндра очень похожа на формулу объёма прямой призмы. Вспомним, что объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.
Теорема
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.е. $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.
Рис. 3. Нахождение объёма цилиндра
Докажем эту теорему.
Пусть есть цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а высота – $h$. Впишем в цилиндр правильную призму $P_{1}$ (рис. 3 – зеленая призма), а правильную призму $P_{2}$ опишем около этого цилиндра (рис. 3 – синяя призма).
Можно сделать вывод, что объём призмы $P_{1}$ меньше объема цилиндра, так как она вписана, а объём призмы $P_{2}$, наоборот, больше, т.е.
$V_{P_{1}} < V_{\text{цилиндра}} < V_{P_{2}}$.
Объём любой прямой призмы можно вычислить по формуле: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$. Тогда
$S_{P_{1}} \cdot h < V_{\text{цилиндра}} < S_{P_{2}} \cdot h$.
В основании призмы $P_{1}$ лежит правильный $n$-угольник, вписанный в окружность радиуса $R$. При этом, если $n \rightarrow \infty$, то $S_{P_{1}} \rightarrow \pi R^{2}$.
В основании призмы $P_{2}$ лежит правильный $n$-угольник, описанный около окружности радиуса $R$. При этом, если $n \rightarrow \infty$, то $\pi R^{2} \rightarrow S_{P_{2}}$.
Получили:
$\begin{cases} S_{P_{1}} \cdot h < V_{\text{цилиндра}} < S_{P_{2}} \cdot h \\ S_{P_{1}} \rightarrow \pi R^{2} \text{при } n \rightarrow \infty \\ \pi R^{2} \rightarrow S_{P_{2}} \text{при } n \rightarrow \infty \end{cases}$
Тогда можно сделать вывод, что $V_{\text{цилиндра}} = \pi R^{2} \cdot h$.
Основанием цилиндра является круг радиуса $R$, площадь которого равна площади круга, т.е. $S_{\text{осн}} = \pi R^{2}$. Таким образом, объем цилиндра есть произведение площади основания на высоту.
Теорема доказана.
Пример 1
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $12 \pi$, а диаметр основания равен 6. Найдите объём цилиндра.
Решение
Объём цилиндра можно вычислить по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}} = \pi R^{2}$.
Диаметр основания равен 6, радиус в два раза меньше диаметра, т.е. $R = 3$.
Вспомним формулу площади боковой поверхности цилиндра: $S_{\text{бок}} = 2 \pi R h$. Из этой формулы можно найти высоту цилиндра:
$h = \frac{S_{\text{бок}}}{2 \pi R} = \frac{12 \pi}{2 \pi \cdot 3} = 2$.
Тогда объём цилиндра равен
$V = \pi R^{2} \cdot h = \pi \cdot 3^{2} \cdot 2 = 18 \pi$.
Ответ: $18 \pi$.
Пример 2
В цилиндрический сосуд налили $2800 c\text{м}^{3}$ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см (рис. 4). Найдите объём детали. Ответ выразите в $c\text{м}^{3}$.
Решение
Рис. 4. Сосуд, имеющий форму цилиндра
Пусть $h_{1} = 16$ см, $h_{2} = 13$ см.
Объём детали равен объему вытесненной жидкости, т.е. $V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{2}$.
Площадь основания выразим через исходный объём, получим
$S_{\text{осн}} = \frac{V_{\text{исходный}}}{h_{1}} = \frac{2800}{16} = 175 \left(c\text{м}^{2}\right)$.
Тогда
$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{2} = 175 \cdot 13 = 2275 \left(c\text{м}^{3}\right)$.
Ответ: $2275 \text{см}^{3}$.
Упражнение 1
1. Объём цилиндра равна $150 \pi$, а высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. В цилиндрический сосуд, в котором находится $4 \text{дм}^{3}$ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в $\text{дм}^{3}$.
3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает
147 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Контрольные вопросы
1. Как найти объём цилиндра?
2. Какая фигура имеет такую же формулу для нахождения объёма?
Упражнение 1
1. $60 \pi$.
2. $6 \text{дм}^{3}$.
3. 3 см.
