- Правильные и неправильные дроби
- Сравнение дробей
- Знать понятия «правильная дробь», «неправильная дробь».
- Уметь сравнивать дроби с одинаковыми числителями, с одинаковыми знаменателями.
- Что такое дробь?
- Что показывает числитель и знаменатель дроби?
- Чем отличается запись обыкновенной дроби от натурального числа?
Правильные и неправильные дроби
Рис. 1. Части и дроби
Может ли знаменатель дроби быть равным числителю? Рассмотрим на рис. 1 второй случай, когда торт разделили на 8 частей. На тарелке лежат 8 кусков торта из 8. То есть на тарелке $\frac{8}{8}$торта или целый торт. Говорят, что такая дробь равна единице.
Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна единице.
$\frac{8}{8} = 1 .$
Такую дробь называют неправильной дробью.
Так же в случае с первым рисунком справа — неправильная дробь.
Дробь, у которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной.
Сравнение дробей
Дроби, как и другие числа, можно сравнивать между собой. Вы уже умеете сравнивать числа с помощью координатного луча — какое число находится правее, то и больше.
Рис. 2. Сравнение дробей с помощью координатного луча
Можем сказать, что $\frac{11}{12} < \frac{5}{4} ,$ так как вторая дробь находится правее (рис. 2). Обратите внимание, что слева от единицы все дроби правильные, а справа от единицы — неправильные. Так как неправильные дроби правее на координатном луче, то мы можем сделать вывод, что
Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице. Любая неправильная дробь больше правильной дроби.
Но далеко не всегда удобно сравнивать дроби на координатном луче.
Рис. 3. Дроби с одинаковыми знаменателями
Дроби $\frac{4}{6}$ и $\frac{2}{6}$ имеют одинаковые знаменатели. Давайте сравним их графически (рис. 3). Разделим круг на 6 частей. В первом случае закрасим розовым цветом 4 части, во втором — 2 части. По рисунку видно, что в первом круге закрашенная часть больше, чем во втором, так как значение числителя у первой дроби больше. Значит $\frac{4}{6} > \frac{2}{6} .$
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Рис. 4. Дроби с одинаковыми числителями
В случае, когда одинаковые числители, а знаменатели разные тоже есть специальное правило для сравнения таких дробей. Обратимся к графическому изображению (рис. 4). На рисунке видно, что закрашенная часть у первой дроби больше, чем у второй, значит
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример 1
Выпишите все натуральные значения b, при которых дробь $\frac{7}{b}$ будет неправильной.
Решение
Так как у неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю, нам подойдут все значения от 1 до 7.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Упражнения
1. Запишите все правильные дроби со знаменателем 9.
2. Запишите все неправильные дроби с числителем 9.
3. Сравните числа: 1) $\frac{7}{9}$ и $1$; 2) $\frac{14}{11}$ и $1$; 3) $\frac{24}{24}$ и $1$; 4) $\frac{5}{5}$ и $\frac{17}{17}$.
4. Расположите дроби в порядке убывания: $\frac{3}{16} , \frac{1}{16} , \frac{7}{16} , \frac{4}{16} , \frac{6}{5} .$
Контрольные вопросы
1. Какие виды дробей вы знаете?
2. Как сравнить дроби на координатном луче?
3. Какая дробь меньше: правильная или неправильная?
4. Какие правила сравнения обыкновенных дробей вы знаете?
1. $\frac{1}{9} , \frac{2}{9} , \frac{3}{9} , \frac{4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{9} , \frac{7}{9} , \frac{8}{9} .$
2. $\frac{9}{1} , \frac{9}{2} , \frac{9}{3} , \frac{9}{4} , \frac{9}{5} , \frac{9}{6} , \frac{9}{7} , \frac{9}{8} , \frac{9}{9} .$
3. 1) $\frac{7}{9} < 1$; 2) $\frac{14}{11} > 1$; 3) $\frac{24}{24} = 1$; 4) $\frac{5}{5} = \frac{17}{17}$.
4. $\frac{6}{5} ; \frac{7}{16} ; \frac{4}{16} ; \frac{3}{16} ; \frac{1}{16} .$
