Конспект урока: Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Основное свойство дроби

Рис. 1. Основное свойство дроби

Степа и Вася купили себе по пицце, каждую из которых поделили на равное количество частей: Степа — на 4, Вася — на 8. Степа съел 2 куска из 4, а Вася 4 куска из 8. Кто из мальчиков съел больше?

 

На рис. 1 видно, что $\frac{2}{4}$ и $\frac{4}{8}$ пиццы — это одинаковая часть. Получается, что мальчики съели одинаковую часть от пиццы. На рисунке слева пицца разделена на 4 части. Если каждую часть еще разделить пополам, то получится 8 равных частей. Тогда 2 из 4 частей будут равны 4 из 8 частей. Деление каждого кусочка пиццы на 2, 3, 4 и т. д. равных частей можно описать равенствами:

$\frac{2}{4} = \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{4}{8} ; \frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} ; \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{8}{16} .$

Рис. 2. Основное свойство дроби

На рис. 2 верхний прямоугольник разделен на 8 равных частей, 4 из которых закрашены. Если бы мы разделили его на 4 равные части, тогда закрашены были бы 2 части, 

т. е. $\frac{4}{8} = \frac{2}{4}$. В данном случае мы не увеличиваем исходное количество частей, а уменьшаем в два раза: 

 

$\frac{4}{8} = \frac{4 : 2}{8 : 2} = \frac{2}{4}$

Основное свойство дроби

Решение

Числитель первой дроби увеличили в 5 раз, получили 15. Значит и знаменатель первой дроби должен быть увеличен в 5 раз. 

$55 : 5 = 11$.

Ответ: 11.

Сокращение дробей

Из основного свойства дроби следует, что если числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{16}$ разделить на одно и то же число, допустим на 2, то значение дроби не изменится. Такое действие называют сокращением дроби. Говорят, что дробь $\frac{12}{16}$ сократили на 2.

$\frac{12}{16} = \frac{12 : 2}{16 : 2} = \frac{6}{8}$

Но ту же самую дробь можно сократить не только на 2, но и на 4.

$\frac{12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}$

Дробь $\frac{3}{4}$ сократить нельзя, так как числа 3 и 4 не имеют общих делителей, отличных от единицы, т. е. они взаимно простые числа. Такая дробь называется несократимой. Принято сокращать дробь до несократимой дроби.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель.

НОД (45; 60) = 15.

$\frac{45}{60} = \frac{45 : 15}{60 : 15} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4} .$

Решение

Для упрощения вычислений попробуем сократить дробь. Найдем пару чисел (одно из числителя, другое из знаменателя) с общим делителем: числа 33 и 22 делятся на 11 (11 = НОД (33; 22)). Зачеркиваем их и рядом пишем частное от деления на 11. Числа 12 и 36 делятся на 12 (12 = НОД (12; 36)). Около 12 пишем 1, т. к. 

12 : 12 = 1, около 36 – 3, т. к. 36 : 12 = 3. Находим произведение этих частных:

Ответ: $\frac{2}{9} .$

Решение

В числителе и знаменателе применим распределительное свойство умножения и сократим получившуюся дробь:

Ответ: $\frac{2}{3} .$

Решение

1) 1 час содержит 60 минут, т. е. 1 минута – это $\frac{1}{60}$ часа. Тогда 96 минут – это $\frac{96}{60}$ часа. Данную дробь можно сократить на 12. Получим:

$\frac{96}{60} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5}$.

2) В одних сутках 24 часа, значит, 1 час составляет $\frac{1}{24}$ суток. Тогда 12 часов составляют $\frac{12}{24}$ суток или $\frac{1}{2}$ суток.

3) $1^{\circ}$ составляет $\frac{1}{180}$развернутого угла. Тогда $117^{\circ}$ – это $\frac{117}{180}$ развернутого угла или $\frac{13}{20}$ развернутого угла.

Ответ: 1) $1 \frac{3}{5}$ часа; 2) $\frac{1}{2}$ суток; 3) $\frac{13}{20}$ развернутого угла.

Решение

$2 \frac{2}{63} - 1 \frac{29}{63} = 1 \frac{65}{63} - 1 \frac{29}{63} = \frac{36}{63} = \frac{4}{7}$.

Уравнение примет вид: $\frac{4}{3 x - 11} = \frac{4}{7}$.

Так как дроби равны и числители этих дробей равны, то и знаменатели тоже должны быть равными, т. е.

$3 x - 11 = 7$;

$3 x = 18$;

$x = 6$.

Ответ: 6.