Конспект урока: Умножение дробей. Нахождение дроби от числа

Умножение дробей

Катя принесла домой 3 книги весом $\frac{2}{7}$ кг каждая. Сколько весят книги?

Чтобы решить эту задачу, нужно массу одной книги умножить на их количество. 

Заменим умножение сложением:

$\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6}{7} .$

По значению выражения видно, что мы умножили числитель дроби в первом множителе на второй множитель, а знаменатель остался прежним. Почему не изменился знаменатель? Представим число 3 в виде неправильной дроби со знаменателем 1: $\frac{3}{1}$. При умножении 7 на 1 получаем 7. 

$\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{1} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7} .$

Обычно единицу в знаменателе не записывают, пишут натуральное число как множитель в числитель.

Свойства умножения натуральных чисел распространяются и на дроби:

1. Переместительное свойство умножения:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = \frac{n}{m} \cdot \frac{a}{b}$

2. Сочетательное свойство умножения:

$( \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} ) \cdot \frac{k}{h} = \frac{a}{b} \cdot ( \frac{n}{m} \cdot \frac{k}{h} )$

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания:

$\frac{k}{h} \cdot ( \frac{a}{b} + \frac{n}{m} ) = \frac{k}{h} \cdot \frac{a}{b} + \frac{k}{h} \cdot \frac{n}{m}$

$\frac{k}{h} \cdot ( \frac{a}{b} - \frac{n}{m} ) = \frac{k}{h} \cdot \frac{a}{b} - \frac{k}{h} \cdot \frac{n}{m}$

Решение

1) Вспомним правило умножения дроби на натуральное число. Умножаем 3 на 5 и произведение записываем в числитель, знаменатель не изменяется.

Также можно использовать правило умножения обыкновенных дробей, для этого представим число 5 в виде дроби со знаменателем 1. Умножим дроби по алгоритму.

Выделим из полученной дроби целую часть: $\frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}$

2) Умножим дроби по алгоритму, предварительно их сократив.

3) Представим смешанные числа в виде неправильных дробей.

4) Можно сначала вычислить значение выражения в скобках, затем умножить его на 16, а можно воспользоваться распределительным свойством умножения:

$( 2 - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} ) \cdot 16 = 2 \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 16 + \frac{5}{8} \cdot 16 = 32 - 12 + 10 = 30 .$

5) Из распределительного свойства умножения следует, что 

$\frac{a}{b} \cdot \frac{k}{h} + \frac{n}{m} \cdot \frac{k}{h} = \frac{k}{h} \left(\frac{a}{b} + \frac{n}{m}\right)$.

Тогда:

$3 \frac{7}{11} \cdot \frac{5}{6} + \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \cdot ( 3 \frac{7}{11} + \frac{4}{11} ) = \frac{5}{6} \cdot 4 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} .$

Ответ: 1) $2 \frac{1}{7}$; 2) $\frac{9}{16}$; 3) $9 \frac{1}{6}$; 4) $30$; 5) $3 \frac{1}{3}$.

Решение

Для упрощения выражения воспользуемся распределительным свойством умножения:

$\frac{4}{9} a + \frac{7}{27} a - \frac{2}{3} a = a ( \frac{4}{9} + \frac{7}{27} - \frac{2}{3} ) = a ( \frac{12}{27} + \frac{7}{27} - \frac{18}{27} ) = a \cdot \frac{1}{27}$

Поменяв местами множители, используя переместительное свойство умножения, получим, что данное выражение равно $\frac{1}{27} a$.

Если $a = 2 \frac{1}{13}$, то

Ответ: $\frac{1}{13}$.

Решение

Ответ: $\frac{8 b}{3}$.

Нахождение дроби от числа

Вы уже умеете решать задачи на проценты. Для того, чтобы найти заданный процент от числа, нужно сначала найти значение 1% от числа, затем умножить его на заданное количество процентов. Аналогично можно решать задачи на нахождение дроби от числа. Сначала находят значение одной части, затем умножают на их количество. 

В классе 30 учащихся. Из них $\frac{3}{5}$ — девочки. Сколько девочек в классе?

1) 30 : 5 = 6 (чел.) — это $\frac{1}{5}$ часть всех учащихся класса.

2) 6 ∙ 3 = 18 (чел.) — девочек в классе.

В таких случаях говорят, что нашли $\frac{3}{5}$ от числа 30. Подобные задачи называют задачами на нахождение дроби от числа.

$\frac{3}{5} \cdot 30 = \frac{3 \cdot 30}{5} = 18$ (чел.) — девочек в классе.

Решение

1) Переведем проценты в дробь: 60% = 0,6

2) Умножим дробь на число:

$0,6 \cdot 30 = 18$ (чел.) — девочек в классе.

Ответ: 18 девочек.

Решение

1) $45 \cdot \frac{2}{3} = \frac{45 \cdot 2}{3} = 30$.

2) 60% — это 0,6;

$85 \cdot 0,6 = 51$.

3) Градусная мера развернутого угла — 180°.

$180 \cdot \frac{3}{4} = \frac{180 \cdot 3}{4} = 135$. Получили, что $135^{\circ} - \frac{3}{4}$ от 180°.

4) 1 км = 1000 м;

$21,6 \% = 0,216$;

$1000 \cdot 0,216 = 216$ (м).

* Здесь можно было бы километры переводить в сантиметры, миллиметры. 

Ответ: 1) 30; 2) 51; 3) 135°; 4) 216 м.

Решение

Пусть $x$ кг капусты привезли в магазин. Тогда $0,44 x$ кг было лука и $1,35 x$ кг было картофеля. По условию, всего в магазин привезли 558 кг овощей. Составим и решим уравнение:

$0,44 x + x + 1,35 x = 558$,

$x ( 0,44 + 1 + 1,35 ) = 558$,

$2,79 x = 558$,

$x = 200$.

Итак, 200 кг капусты привезли в магазин.

0,44 · 200 = 88 (кг) — лука привезли в магазин.

Ответ: 88 кг.