Конспект урока: Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Приведение дробей к общему знаменателю

Для того, чтобы сравнивать, складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю.

Рассмотрим дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$.

Общий знаменатель — это число, которое делится нацело на каждый из знаменателей, т. е. это общее кратное чисел 8 и 6. Удобнее использовать наименьшее общее кратное. 

НОК (8; 6) = 24.

Приведем дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 24. Используя основное свойство дроби, заметим, что числитель и знаменатель необходимо умножить на 3. Это число называют дополнительным множителем.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.

Аналогично приводим дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 24, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель 4.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24} .$

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

Решение

НОК (12; 18) = 36.

Дополнительный множитель к первой дроби — 3, ко второй — 2.

Ответ: $\frac{15}{36}$; $\frac{14}{36}$.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Зная, как приводить дроби к общему знаменателю, мы можем сравнивать дроби с разными знаменателями.

Правило сравнения дробей с разными знаменателями

Решение

Приведем дроби к общему знаменателю.

НОК (5; 4) = 20.

Дополнительный множитель к первой дроби:

20 : 5 = 4.

Дополнительный множитель ко второй дроби:

20 : 4 = 5.

Умножив числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители, получим дроби $\frac{8}{20}$ и $\frac{15}{20}$.

Используем правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями (из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше), т. е. $\frac{8}{20} < \frac{15}{20} ,$значит $\frac{2}{5} < \frac{3}{4} .$

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{3}{4} .$

Решение

Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю: НОК (4; 12; 6) = 12.

$\frac{3}{12} < \frac{x}{12} < \frac{10}{12}$.

Видим, что в качестве $x$ можно взять натуральные числа, большие 3, но меньшие 10, это 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Нам уже известны правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. 

$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}$;       $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$.

А как же сложить, например, $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$? 

Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Решение

1) Приведем дроби к общему знаменателю, найдем сумму дробей. 

$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$

Так как в ответе получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть.

$\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$

2) Представим единицу в виде неправильной дроби со знаменателем 4: $1 = \frac{4}{4}$. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

3) Занимаем единицу в целой части и представляем ее в виде неправильной дроби со знаменателем 7. Получаем смешанное число $32 \frac{7}{7}$. Выполняем вычитание по алгоритму.

$33 - 5 \frac{4}{7} = 32 \frac{7}{7} - 5 \frac{4}{7} = 27 \frac{3}{7}$

4) Приводим дроби к общему знаменателю:

$5 \frac{2}{9} - 3 \frac{5}{6} = 5 \frac{4}{18} - 3 \frac{15}{18}$
 

Так как вычитание в дробной части мы выполнить не можем, (4 < 15), занимаем единицу у уменьшаемого и представляем ее в виде неправильной дроби:

$5 \frac{4}{18} = 4 \frac{18}{18} + \frac{4}{18} = 4 \frac{22}{18}$

Выполняем вычитание по алгоритму:

$5 \frac{4}{18} - 3 \frac{15}{18} = 4 \frac{22}{18} - 3 \frac{15}{18} = 1 \frac{7}{18}$

Ответ: 1) $1 \frac{1}{6}$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $27 \frac{3}{7}$; 4) $1 \frac{7}{18}$.

Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства сложения:

1) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$ переместительное свойство сложения;

2) $( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} ) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + ( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} )$ сочетательное свойство сложения.

Решение

Воспользуемся сначала переместительным, затем сочетательным свойствами сложения:

$1 \frac{3}{16} + \frac{5}{16} + 3 \frac{5}{24} + 5 \frac{7}{24} = ( 1 \frac{3}{16} + \frac{5}{16} ) + ( 3 \frac{5}{24} + 5 \frac{7}{24} ) = 1 \frac{8}{16} + 8 \frac{12}{24} = 1 \frac{1}{2} + 8 \frac{1}{2} = 10$

Ответ: 10.

Решение

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

$x - 1 \frac{5}{18} = 5 \frac{4}{9} - 2 \frac{4}{27}$

Наименьший общий знаменатель дробей $\frac{4}{9}$ и $\frac{4}{27}$ равен 27, тогда 

$5 \frac{4}{9} - 2 \frac{4}{27} = 5 \frac{12}{27} - 2 \frac{4}{27} = 3 \frac{8}{27}$.

Имеем:

$x - 1 \frac{5}{18} = 3 \frac{8}{27}$,

$x = 3 \frac{8}{27} + 1 \frac{5}{18}$,

$x = 4 \frac{31}{54}$.

Ответ: $4 \frac{31}{54}$.