- Одночлен и его стандартный вид
- Умножение одночленов и возведение одночлена в степень
- Знать определение одночлена
- Уметь записывать одночлен в стандартном виде
- Знать правило умножения одночленов
- Знать правило возведения одночлена в степень
- Уметь умножать одночлены
- Уметь возводить одночлены в степень
- Как выполнить умножение степеней?
- Как степень возвести в степень?
- Число $a$ — отрицательное. Какой знак будет у числа $a^{18}$?
- Число $c$ — отрицательное. Какой знак будет у числа $c^{15}$?
Одночлен и его стандартный вид
Одночленом называется выражение, записанное в виде произведения чисел, переменных и их степеней.
Числа, переменные и их степени также считаются одночленами.
Записать одночлен в стандартном виде, это значит, упростить данный одночлен и записать его таким образом, чтобы числовой множитель был на первом месте, а затем — степени различных переменных.
Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.
Если одночлен является числом, т. е. не содержит переменных, то степень этого одночлена равна 0.
Число 0 – одночлен, степень которого не определена.
Пример 1
Среди данных выражений выберите те, которые являются одночленами, запишите их в стандартном виде, назовите коэффициент, укажите степень одночлена:
а) $5 a \cdot ( - 4 c )$;
б) $5 a^{2} c \cdot 0,4 a c^{3}$;
в) $5 a + c$;
г) 5.
Решение
Представим результат рассуждений в виде таблицы:
в) $5 a + c$ — одночленом не является, т. к. выражение записано в виде суммы, а не произведения.
Умножение одночленов и возведение одночлена в степень
При умножении одночленов применяют правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. При возведении одночлена в степень применяют правило возведения степени в степень. Полученный в результате одночлен записывают в стандартном виде.
Пример 2
а) Выполните умножение: $- 8 a^{5} \cdot 3 a c \cdot 0,1 c^{4}$.
б) Выполните возведение в степень: $\left( - 2 m^{3} n \right)^{4}$.
Решение
а) $- 8 a^{5} \cdot 3 a c \cdot 0,1 c^{4} = - 8 \cdot 3 \cdot 0,1 \cdot a^{5} \cdot a \cdot c \cdot c^{4} = - 2,4 a^{6} c^{5}$
б) $\left( - 2 m^{3} n \right)^{4} = \left( - 2 \right)^{4} \cdot \left( m^{3} \right)^{4} \cdot n^{4} = 16 m^{12} n^{4}$
Ответ: а) $- 2,4 a^{6} c^{5}$, б) $16 m^{12} n^{4}$.
Упражнение 1
1. Приведите одночлен к стандартному виду, назовите коэффициент, укажите степень одночлена:
а) $4 c \cdot 5 k c^{2}$;
б) $0,3 x^{5} \cdot ( - 2,9 x^{3} ) \cdot x$.
2. Выполните умножение одночленов:
а) $25 y^{3} \cdot 0,4 y^{5} \cdot 3 y^{2}$;
б) $- 27 a^{3} x \cdot ( - 3 a x^{3} )$;
в) $3 \frac{1}{5} m n \cdot 1 \frac{2}{3} m^{4} n^{6}$.
3. Выполните возведение в степень:
а) $\left( - 1 \frac{1}{2} a^{5} b^{3} c \right)^{3}$;
б) $\left( 3 x^{2} y^{7} \right)^{5}$.
4. Упростите: $\left( \frac{2}{3} a b^{4} \right)^{3} \cdot \left( - 3 a^{6} b^{2} \right)^{2}$.
Контрольные вопросы
- Что такое одночлен?
- Как записать одночлен в стандартном виде?
- Как называется числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде?
- Что такое степень одночлена?
- Как умножить одночлены?
- Как возвести одночлен в степень?
Упражнение 1
1. а) $20 c^{3} k$; 20 - коэффициент, 4 - степень одночлена;
б) $- 0,87 x^{9}$; -0,87 – коэффициент, 9 – степень одночлена.
2. а) $30 y^{10}$; б) $81 a^{4} x^{4}$; в) $5 \frac{1}{3} m^{5} n^{7}$.
3. а) $- 3 \frac{3}{8} a^{15} b^{9} c^{3}$; б) $243 x^{10} y^{35}$.
4. $2 \frac{2}{3} a^{15} b^{16}$.