Конспект урока: Деление с остатком

Деление с остатком

Давайте еще раз вспомним о делении натуральных чисел. Мы говорим, что число $a$ делится на число $b$, если существует некоторое натуральное число $q$ (называется частным), что $a = b q$. Например, число 18 делится на 6. В этом случае частное $q = 3$.

Однако чаще всего возникает ситуация, когда одно натуральное число не делится на другое и в результате деления получается остаток. Например, разделим 2538 на 17:

 

В этом случае мы получили неполное частное 149 и остаток, который равен 5. Тогда исходное число можно представить в виде:

 

$2538 = 17 \cdot 149 + 5$

 

Заметим, что остаток 5 меньше делителя 17.

Если из числа 2538 вычесть остаток 5, то полученная разность будет делиться на 17, т.е. $2538 - 5 = 17 \cdot 149$.

Все подобные рассуждения будут верны для всех натуральных чисел. 

Если $a$ делится на $b$ без остатка, то считается, что остаток от деления равен нулю, т.е. можно записать:

$a = b q + 0 .$

Если же $a < b$, то всё равно можно говорить о делении этих чисел с остатком. В этом случае неполное частное $q$ будет равно нулю, а остаток от деления $r$ будет равен $a$. Например, пусть $a = 3$, $b = 7$. Тогда можно записать:

$3 = 7 \cdot 0 + 3$.

Сформулируем определение остатка от деления натуральных чисел.

Определение остатка позволяет разбить множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число. Общее количество этих классов равно количеству возможных остатков. Например, при делении числа на 5 возможны остатки 0, 1, 2, 3 и 4. Поэтому, множество всех целых неотрицательных чисел делится на пять классов:

числа вида $5 q$ (делятся на 5 без остатка)

числа вида $5 q + 1$ (делятся на 5 с остатком 1)

числа вида $5 q + 2$ (делятся на 5 с остатком 2)

числа вида $5 q + 3$ (делятся на 5 с остатком 3)

числа вида $5 q + 4$ (делятся на 5 с остатком 4), где $q = 0,1 , 2 , \ldots$

Данное определение остатка будет верно и для случая, когда $a$ – целое число, 

а $b$ – натуральное.

Например, пусть $a = - 8 , b = 3$. Тогда частное равно -3, а остаток 1.

$- 8 = 3 \cdot ( - 3 ) + 1$ (при этом $0 \leq 1 < 3$)

Чтобы лучше понять данный пример, представьте себе ситуацию, что три мальчика должны отдать девочкам 8 конфет. Если каждый из них принесёт по три конфеты, то после полного расчёта с девочками, у них останется 1 лишняя конфета.

Сформулируем теорему о делении с остатком.

Деление целых чисел с остатком

Рассмотрим алгоритм деления целых чисел с остатком.

Докажите, что сумма двух нечётных чисел есть чётное число.

Решение

Нечётное число – это число, которое не делится на 2. То есть при делении на 2 имеет остаток 1. Значит, любое нечётное число можно представить в виде $2 n + 1$, где $n$-целое число.

Пусть первое нечётное число будет $2 n + 1$, а второе $2 m + 1$. Найдем их сумму:

$( 2 n + 1 ) + ( 2 m + 1 ) = 2 ( n + m ) + 2 = 2 ( n + m + 1 )$.

Число $2 ( n + m + 1 )$ будет являться чётным, так как при делении на 2 не имеет остатка.

Найдите частное и остаток от деления:

а) 128 на 6

б) – 24 на 5

в) – 5 на 7

г) 34 на – 8

Решение

а) Разделим 128 на 6 столбиком:

Неполное частное $q = 21$, остаток $r = 2$.

б) Разделим -24 на 5. Воспользуемся алгоритмом, приведенным в таблице. Это случай $a < 0$, $b > 0$. Разделим $| - 24 |$ на 5:

$| - 24 | : 5 = 4$ (ост 4).

Тогда $q = - 4 - 1 = - 5 , r = - 24 - 5 \cdot ( - 5 ) = 1$. 

Действительно, $- 24 = ( - 5 ) \cdot 5 + 1$.

в) Разделим -5 на 7. Воспользуемся алгоритмом, приведенным в таблице. Это случай $a < 0$, $b > 0$. Разделим $| - 5 |$ на 7:

$| - 5 | : 7 = 0$ (ост 5).

Тогда $q = 0 - 1 = - 1$, $r = - 5 - 7 \cdot ( - 1 ) = 2$.

Действительно, $- 5 = 7 \cdot ( - 1 ) + 2$.

г) Разделим 34 на -8. Воспользуемся алгоритмом, приведенным в таблице. Это случай $a > 0$, $b < 0$. Разделим 34 на $| - 8 |$:

$34 : | - 8 | = 4$ (ост 2).

Тогда $q = - 4$, $r = 2$. 

Действительно, $34 = - 8 \cdot ( - 4 ) + 2$.

Числа $a$ и $b$ при делении на 7 дают остатки 3 и 4 соответственно. Докажите, что их сумма делится на 7.

Решение

Число $a$ можно представить в виде $7 n + 3$, а число $b$ в виде $7 m + 4$, где $n$ и $m$ - некоторые целые числа. Тогда сумма $a$ и $b$ будет:

$a + b = 7 n + 3 + 7 m + 4 = 7 ( n + m ) + 7 = 7 ( n + m + 1 )$.

Данная сумма делится на 7 без остатка.

1. Докажите, что сумма чётного и нечётного числа будет нечётным числом.

2. Найдите частное и остаток от деления:

а) 14671 на 54

б) 17 на -5

в) 45 на -15

г) -17 на 5

д) -1404 на 26

е) -17 на -5 

ж) -521 на -12

3. Числа $a$ и $b$ при делении на 6 дают остатки 1 и 3 соответственно. Докажите, что их сумма является чётным числом.