Конспект урока: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Когда Гауссу, который учился в младшей школе, предложили найти сумму всех натуральных чисел от единицы до ста, то он, вероятно, рассуждал так: «сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050».

$1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = . . . = 101$,

$1 + 2 + 3 + . . . + 98 + 99 + 100 = 101 \cdot 50 = 5 050$

Используя возможные рассуждения Гаусса, выведем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. 

Рассмотрим произвольную арифметическую прогрессию, состоящую из $n$членов $a_{1} , a_{2} , a_{3} , . . . a_{n - 1} , a_{n}$. Сложим все члены, но не по порядку, а попарно: первый и последний $( a_{1} + a_{n} )$, второй и предпоследний $( a_{2} + a_{n - 1} )$ и т. д. Обозначив через $S_{n}$ сумму, получим:

$S_{n} = ( a_{1} + a_{n} ) + ( a_{2} + a_{n - 1} ) + ( a_{3} + a_{n - 2} ) + . . .$.

Таких пар будет $\frac{n}{2}$, причём сумма каждой пары одинаковая, т. к.

$a_{2} + a_{n - 1} = ( a_{1} + d ) + ( a_{n} - d ) = a_{1} + a_{n}$,

$a_{3} + a_{n - 2} = ( a_{1} + 2 d ) + ( a_{n} - 2 d ) = a_{1} + a_{n}$.

Тогда сумму можно записать в следующем виде:

$S_{n} = ( a_{1} + a_{n} ) \cdot \frac{n}{2} = \frac{( a_{1} + a_{n} ) n}{2}$.

Этой формулой удобно пользоваться, если изначально известны значения первого и последнего члена прогрессии. Получим формулу суммы при известных значениях первого члена и разности арифметической прогрессии.

Воспользовавшись формулой $n$-го члена $a_{n} = a_{1} + d ( n - 1 )$, получим

$S_{n} = \frac{( a_{1} + ( a_{1} + d ( n - 1 ) ) ) n}{2} = \frac{2 a_{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$.

Найдите сумму первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии $5 ; 13 ; 21 ; . . .$.

Решение

Для данной прогрессии воспользуемся формулой 

$S_{n} = \frac{2 a_{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$.

Из условия имеем, что $a_{1} = 5 , d = 13 - 5 = 8 , n = 25$. Подставим в формулу данные значения, получим

$S_{25} = \frac{2 \cdot 5 + 8 ( 25 - 1 )}{2} \cdot 25 = 2 525$.

Ответ: $2 525$.

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии:

1. $2 ; 11 ; 20 ; . . .$

2. $15 ; 3 ; - 9 ; . . .$

3. $4,5 ; 7 ; 9,5 ; . . .$

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $7$ и не превосходящих $350$.

Решение

Для данной прогрессии воспользуемся формулой 

$S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n} ) n}{2}$

Из условия имеем только что $a_{1} = 7$, т. к. это первое натуральное число кратное $7 .$ 

Найдем количество чисел, кратных семи, и не превосходящих $350$. Разделим $350$ на $7$ и получим $50$. Это значит, что есть $50$ таких чисел и последнее из них как раз равно $350$, т. е. $n = 50$ и $a_{50} = 350$. Тогда

$S_{n} = \frac{( 7 + 350 ) \cdot 50}{2} = 8 925$.

Ответ: $8 925$.

1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $8$ и не превосходящих $400$.

2. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $9$ и не превосходящих $250$.

Упражнение 1

1. $1 750$.               2. $- 1 980$.               3. $565$

Упражнение 2

1. $10 200$.               2. $3 402$