Конспект урока: Масса, импульс и энергия в СТО

Зависимость массы от скорости

В соответствии с законами классической механики, кинетическая энергия материальной точки равна работе $A$, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость материальной точки от нуля до значения $v$.

Тогда, чтобы сообщить протону массой $m_{p} \approx 1,7 \cdot 10^{- 27} \text{кг}$ скорость равную скорости света в вакууме $c$, необходимо совершить над ним работу:

$A = \frac{m_{p} \cdot c^{2}}{2} \approx \frac{1,7 \cdot 10^{- 27} \cdot \left(3 \cdot 10^{8}\right)^{2}}{2} = 7,65 \cdot 10^{- 27} \text{Дж} \approx 480 M\text{э}B$.

Современные ускорители способны совершать над частицами значительно большую работу. Несмотря на это на сегодняшний день протон удалось разогнать лишь до скорости $v \approx 0,9999 \cdot c$, совершив над протоном работу, превышающую приведённое выше значение в 30 000 раз.

Получается, что при скоростях, приближающихся к скорости света, законы классической механики перестают выполняться.

Оказывается, при увеличении скорости тела масса данного тела тоже увеличивается.
 

Пусть $m_{0}$ — масса покоящегося тела (так называемая масса покоя), а $m$ — масса тела, движущегося со скоростью $v$. Тогда масса движущегося тела рассчитывается по следующей формуле:

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$.

На рисунке 1 приведён график зависимости массы тела от его скорости.
 

Из представленной зависимости видно, что чем ближе скорость тела к скорости света в вакууме, тем сильнее возрастает масса тела.

Рис. 1. График зависимости массы тела от его скорости

При малых скоростях движения знаменатель выражения выше близок к единице, поэтому масса тела, движущегося со скоростью, много меньшей скорости света $v \ll c$, практически не отличается от его массы покоя. Заметить увеличение массы при таких скоростях практически невозможно. Однако, если значение скорости приближается к значению скорости света, масса увеличивается в десятки раз. Ускоритель частиц может разогнать электрон до скорости меньше скорости света на 35–50 м/с, при этом масса частицы увеличится приблизительно в 2 000 раз.

Таким образом, пользоваться классическими законами Ньютона для расчёта траекторий быстрых частиц нельзя.

Релятивистский импульс тела рассчитывается с учётом выражения $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$:

$\overrightarrow{p} = \frac{m_{0} \cdot \overrightarrow{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$.

При увеличении скорости движения масса тела увеличивается. Из уравнения следует, что при скоростях, близких к скорости света, масса тела стремится к бесконечности $m \rightarrow \infty$. Следовательно, скорость тела перестаёт возрастать, даже если сила будет действовать на тело бесконечно долго. Для малых скоростей движения $v \ll c$, когда $\frac{v}{c} \ll 1$, импульс переходит в привычный для классической механики вид:

$\overrightarrow{p} = m_{0} \cdot \overrightarrow{v} .$

Релятивистские законы справедливы для любых скоростей — как малых, так и близких к скорости света. Законы классической механики являются частным случаем релятивистских законов и выполняются при скоростях, много меньших скорости света.

Связь между массой и энергией

Альберт Эйнштейн установил простую формулу, связывающую энергию и массу тела:

$E = m \cdot c^{2}$.

Из формулы Эйнштейна следует, что при изменении энергии тела изменяется и её масса:

$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^{2}}$.

Ярким примером данного явления служит уже известный вам дефект масс. Понятно, что в бытовых условиях обнаружить эти изменения не представляется возможным: энергия и масса горячего напитка в чашке больше энергии и массы того же напитка, имеющего меньшую температуру, но эту разницу не покажут даже самые точные весы.

Из уравнения $E = m \cdot c^{2}$ следует важный вывод: любое тело обладает энергией, уже благодаря факту своего существования. То есть тело, даже находясь в состоянии покоя, обладает некоторой энергией, получившей название энергия покоя:

$E_{0} = m_{0} \cdot c^{2}$.

В рамках специальной теории относительности выделяют массовые частицы — частицы, обладающие массой, отличной от нуля независимо от скорости их движения, и безмассовые — частицы, масса которых в состоянии покоя равна нулю, эти частицы существуют только в движении.
 

Безмассовые частицы всегда движутся со скоростью света, обладают энергией и импульсом. К безмассовым частицам относятся фотоны.
Связь энергии безмассовой частицы с её импульсом выражается следующим соотношением:

$E = p \cdot c$.

Существование энергии покоя доказано экспериментально. Вспомним реакцию бета-распада:

${}_{0}^{1}n \rightarrow {}_{1}^{1}p + {}_{- 1}^{0}e + {}_{0}^{0}\overset{\sim}{\nu}$.

В результате превращения нейтрона в протон также образуется электрон ${}_{- 1}^{0}e$ 
и ещё одна нейтральная частица с нулевой массой покоя — электронное антинейтрино ${}_{0}^{0}\overset{\sim}{\nu}$.
 

Масса исходной частицы больше суммы масс протона и электрона на величину $\Delta m$, изменение энергии системы равно $\Delta E = \Delta m \cdot c^{2}$. Расчёты показывают, что суммарная кинетическая энергия продуктов распада равна величине $\Delta E$. Таким образом, энергия покоя массовой частицы при её превращении в безмассовую частицу перешла в кинетическую энергию образовавшихся частиц.

Согласно Эйнштейну, энергия и импульс частицы, обладающей массой, связаны следующим соотношением:

$E^{2} - p^{2} \cdot c^{2} = \left(E_{0}\right)^{2}$.

Перепишем выражение выше, используя определение энергии покоя:

$E^{2} - p^{2} \cdot c^{2} = \left(m_{0}\right)^{2} \cdot c^{4}$.

Последним выражением определяется масса частицы в СТО. Запишем взаимосвязь энергии, массы и релятивистского импульса для массовых и безмассовых частиц:

$E = \sqrt{\left(m_{0}\right)^{2} \cdot c^{4} + p^{2} \cdot c^{2}}$.

Для одной безмассовой частицы импульс и энергия изменяются одновременно, при этом всегда выполняется

$E^{2} - p^{2} \cdot c^{2} = \left(m_{0}\right)^{2} \cdot c^{4}$.

Экспериментально подтверждено, что импульс и энергия массовой частицы сохраняются в отсутствие внешних сил, если энергия и импульс связаны соотношением

$E^{2} = \frac{\left(\overrightarrow{p} \cdot c^{2}\right)^{2}}{\overrightarrow{v}^{2}}$.

Из последнего можно записать соотношение, связывающее релятивистскую энергию и массу данной частицы:

$E = \frac{m_{0} \cdot c^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$.

Проанализируем последнее выражение для релятивистской энергии. При стремлении скорости частицы $v$ к скорости света $c$ знаменатель дроби стремится к нулю, а энергия — к бесконечности. Этим как раз и объясняется тот факт, что для разгона частиц до скоростей света требуется огромное количество энергии. Для малых скоростей движения $v \ll c$, когда $\frac{v}{c} \ll 1$, можно записать

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \approx \sqrt{1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}} \approx 1 + \frac{v^{2}}{2 c^{2}}$.

Тогда для малых значений скоростей энергия частицы может быть представлена суммой её энергии покоя и классической кинетической энергией:

$E \approx m c^{2} \cdot \left(1 + \frac{v^{2}}{2 c^{2}}\right) = m c^{2} + \frac{m v^{2}}{2} .$