Конспект урока: Свойства биссектрисы угла. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Рис. 1. Точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон

Пусть даны неразвёрнутый угол с вершиной $A$ и точка $D$ на его биссектрисе (рис. 1). Проведём из точки $D$ перпендикуляры $DB$ и $DC$ к сторонам данного угла. По определению $DB$ и $DC$ – расстояния от точки $D$ до сторон угла $A$.

Прямоугольные треугольники $DBA$ и $DCA$ имеют общую гипотенузу $DA$, $\angle DAB=\angle DAC$ по условию. Тогда $∆DBA=∆DCA$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда $DB=DC$, то есть точка $D$ равноудалена от сторон данного угла.

Рис. 2. Точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе

Теперь докажем, что любая точка, равноудалённая от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Пусть $F$ – некоторая точка, равноудаленная от сторон угла $A$, то есть перпендикуляры $FB$ и $FC$, проведенные из точки $F$ к сторонам данного угла, равны (рис. 2). Соединим точки $F$ и $A$. Тогда прямоугольные треугольники $FBA$ и $FCA$ равны по гипотенузе и катету. Отсюда $\angle FAB=\angle FAC$, то есть луч $AF$ – биссектриса угла $A$.

Теорема доказана.

Рис. 3. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в одной точке

Рассмотрим треугольник $ABC$, биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$ (рис. 3). Опустим перпендикуляры $OF$, $OD$ и $OE$ из точки $O$ к прямым $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По теореме точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла, поэтому 
$OE=OF$, $OF=OD$ следовательно $OE=OD$. Таким образом, точка $O$ равноудалена от сторон угла $C$, следовательно лежит на его биссектрисе, $CO$ – биссектриса угла $C$. 

Все три биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, что и требовалось доказать.

Рис. 4. Пример 1

По следствию 2 $CH$ – биссектриса угла $C$ (рис. 4), следовательно $\angle ACH=\frac{1}{2}\angle C$. По теореме о сумме углов треугольника

$\angle C=180°-(\angle A+\angle B)$,

$\angle C=180°-(80°+60°)=40°$.

Тогда

$\angle ACH=\frac{1}{1}·40°=20°$.

Ответ: $20°$.

Рис. 5. Серединный перпендикуляр к отрезку AB

На рис. 5 $h$ – серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.                                                      

Рис. 6. К доказательству первой части свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Пусть произвольная точка $C$ лежит на прямой $c$, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через его середину – точку $O$ (рис. 6). В треугольнике $ACB$ отрезок $CO$ – медиана и высота, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Отсюда $AC=BC$, то есть расстояния от точки $C$ до концов отрезка $AB$ равны.

Случай, когда точки $C$ и $O$ совпадают, рассмотрите самостоятельно.

Рис.7 К доказательству второй части свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Докажем обратное утверждение.

Пусть произвольная точка $D$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $AD=BD$ (рис. 7). Тогда в равнобедренном треугольнике $ADB$ отрезок $DO$ – медиана, проведённая к основанию, которая является также и высотой. Таким образом, прямая $DO$ – серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. 

Случай, когда точки $D$ и $O$ совпадают, рассмотрите самостоятельно.

Теорема доказана.

Рис. 8. Серединные перпендикуляры треугольника ABC пересекаются в одной точке

Рассмотрим треугольник $ABC$. $HD$, $HE$ – серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ соответственно (рис. 8). 

Перпендикуляры к сторонам угла $B$ пересекаются в одной точке, иначе они были бы параллельны. Допустим $HD\parallel HE$, тогда прямая $AB\perp HD$ и $AB\perp HE$, но $BC\perp HE$, значит $AB\parallel BC$, чего не может быть. 

По доказанному свойству серединного перпендикуляра $HA=HB$, $HB=HC$, следовательно $HA=HC$. Тогда точка $H$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.