- Определение степени с целым отрицательным показателем
- Свойства степени с целым показателем
- Применение свойств степени с целым показателем
- Знать определение степени с целым отрицательным показателем
- Уметь представлять степень с целым отрицательным показателем в виде дроби и наоборот, представлять дробь в виде выражения, содержащего степень с целым отрицательным показателем
- Знать свойства степени с целым показателем
- Уметь применять свойства степени с целым показателем для преобразования выражений
- Представьте в виде степени: а) $b^{3} \cdot b^{6}$; б) $( b^{2} )^{5}$; в) $a^{7} : a^{2}$
Определение степени с целым отрицательным показателем
В справочниках по физике можно найти массу Земли 5,9736⋅1024 кг и массу электрона 9,1094⋅10−31 кг. Число 1024 нам знакомо, это произведение двадцати четырех множителей, равных 10. А каков смысл числа 10−31?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д.:
100, 101, 102, 103, … .
Каждый элемент этой последовательности в 10 раз больше предыдущего. Добавим по тому же правилу числа слева:
…, $\frac{1}{10^{3}}$, $\frac{1}{10^{2}}$, $\frac{1}{10^{1}}$, 100, 101, 102, 103,… .
Для дробей слева от числа 100 принята запись в виде степени числа 10 с отрицательным показателем:
…, 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103,… .
Т.е. $\frac{1}{10^{1}} = 10^{- 1}$, $\frac{1}{10^{2}} = 10^{- 2}$, $\frac{1}{10^{3}} = 10^{- 3}$ и т. д.
Если $a \neq 0$ и n — целое отрицательное число, то
$a^{n} = \frac{1}{a^{- n}}$.
Выражение $0^{n}$ при целом отрицательном n (так же как и при n = 0) не имеет смысл.
Напомним, что если $n$-натуральное число, то $0^{n}$ имеет смысл и равно нулю.
Возвращаясь к массе электрона, запишем, что означает запись 9,1094⋅10−31:
Пример 1
Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
а) $\frac{1}{2^{4}}$; б) $\frac{1}{5}$; в) $\frac{1}{y^{4}}$; г) $\frac{1}{z^{2}}$; д) $\frac{1}{21^{5}}$.
Решение
а) $\frac{1}{2^{4}} = 2^{- 4}$; б) $\frac{1}{5} = 5^{- 1}$; в) $\frac{1}{y^{4}} = y^{- 4}$; г) $\frac{1}{z^{2}} = z^{- 2}$; д) $\frac{1}{21^{5}} = 21^{- 5}$.
Ответ: а) $2^{- 4}$; б) $5^{- 1}$; в) $y^{- 4}$; г) $z^{- 2}$; д) $21^{- 5}$.
Пример 2
Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:
а) $3^{- 5}$; б) $2^{- 1}$; в) $y^{- 5}$; г) $a^{- 1}$; д) $\left( 2 b \right)^{- 3}$.
Решение
а) $3^{- 5} = \frac{1}{3^{5}} = \frac{1}{243}$; б) $2^{- 1} = \frac{1}{2}$; в) $y^{- 5} = \frac{1}{y^{5}}$; г) $a^{- 1} = \frac{1}{a}$; д) $\left( 2 b \right)^{- 3} = \frac{1}{\left( 2 b \right)^{3}} = \frac{1}{8 b^{3}}$.
Ответ: а) $\frac{1}{243}$; б) $\frac{1}{2}$; в) $\frac{1}{y^{5}}$; г) $\frac{1}{a}$; д) $\frac{1}{8 b^{3}}$.
Упражнение 1
1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
а) $\frac{1}{2^{5}}$; б) $\frac{1}{10}$; в) $\frac{1}{x^{6}}$; г) $\frac{1}{a}$; д) $\frac{1}{23^{4}}$.
2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:
а) $7^{- 3}$; б) $3^{- 1}$; в) $y^{- 10}$; г) $b^{- 2}$; д) $\left( 3 a \right)^{- 4}$.
Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем с основанием не равным нулю.
Для любого $a \neq 0$ и любых целых m и n
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ (1)
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (2)
$\left( a^{m} \right)^{n} = a^{m \cdot n}$ (3)
для любого $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любого целого n
$\left( a b \right)^{n} = a^{n} b^{n}$ (4)
$\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ (5)
Докажем, например, свойство (1) для случая, когда показатели степеней целые отрицательные числа. Пусть $a \neq 0$ и k и p — натуральные числа. Имеем
$a^{- k} \cdot a^{- p} = \frac{1}{a^{k}} \cdot \frac{1}{a^{p}} = \frac{1}{a^{k + p}} = a^{- ( k + p )} = a^{- k - p}$.
При доказательстве мы использовали определение степени с целым отрицательным показателем.
Другие свойства можно доказать аналогичным способом.
Применение свойств степени с целым показателем
Пример 3
Преобразуйте выражение:
а) $a^{- 12} \cdot a^{7}$; б) $a^{4} : a^{9}$; в) $\left( 3 x^{- 2} y^{3} \right)^{- 2}$.
Решение
а) По свойству (1) основание оставляют тем же, а показатели складывают:
$a^{- 12} \cdot a^{7} = a^{- 12 + 7} = a^{- 5}$.
б) По свойству (2) основание оставляют тем же, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:
$a^{4} : a^{9} = a^{4 - 9} = a^{- 5}$.
в) Сначала применим свойство (4), затем (3):
$\left( 3 x^{- 2} y^{3} \right)^{- 2} = 3^{- 2} x^{- 2 \cdot ( - 2 )} y^{3 \cdot ( - 2 )} = \frac{1}{3^{2}} x^{4} y^{- 6} = \frac{1}{9} x^{4} y^{- 6}$.
Ответ: а) $a^{- 5}$; б) $a^{- 5}$; в) $\frac{1}{9} x^{4} y^{- 6}$.
Упражнение 2
1. Преобразуйте выражение:
а) $a^{- 9} \cdot a$; б) $a^{3} \cdot a \cdot a^{- 6}$; в) $x^{- 10} : x$; г) $y^{- 8} : y^{- 3}$;
д) $\left( 2 x^{4} y^{- 2} \right)^{- 3^{}}$; е) $\left( 5 x^{- 5} z^{2} \right)^{- 1}$.
2. Вычислите:
а) $3^{- 7} \cdot 3^{9}$; б) $\left( \frac{1}{5} \right)^{6} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{- 7}$; в) $2^{5} : 2^{6}$;
г) $6^{- 9} : 6^{- 11}$; д) $27^{2} \cdot \left( 3^{- 2} \right)^{2}$.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем.
2. Сформулируйте свойства произведения степеней, частного степеней и возведения степени в степень.
3. Сформулируйте свойства степени произведения и степени дроби.
Упражнение 1
1. а) $2^{- 5}$; б) $10^{- 1}$; в) $x^{- 6}$; г) $a^{- 1}$; д) $23^{- 4}$
2. а) $\frac{1}{343}$; б) $\frac{1}{3}$; в) $\frac{1}{y^{10}}$; г) $\frac{1}{b^{2}}$; д) $\frac{1}{81 a^{4}}$
Упражнение 2
1. а) $a^{- 8}$; б) $a^{- 2}$; в) $x^{- 11}$; г) $y^{- 5}$; д) $\frac{1}{8} x^{- 12} y^{6}$; е) $\frac{1}{5} x^{5} z^{- 2}$.
2. а) 9; б) 5; в) $\frac{1}{2}$; г) 36; д) 9.
