- Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
- Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
- Уметь выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни
- Уметь освобождаться от иррациональности в знаменателе
- Вычислите:
а) $\sqrt{169} \cdot \sqrt{49}$; б) $\sqrt{\frac{64}{225}}$; в) $\sqrt{\frac{75}{3}}$; г) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$; д) $\sqrt{128}$
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Мы рассмотрели основные преобразования выражений, содержащих квадратные корни, такие как: извлечение корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня.
Рассмотрим еще примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1
Упростите выражение $\sqrt{12 y} - 0,5 \sqrt{48 y} + 2 \sqrt{108 y}$.
Решение
Вынесем множители за знак корня в каждом слагаемом выражения: $\sqrt{12 y} = 2 \sqrt{3 y} , 0,5 \sqrt{48 y} = 0,5 \cdot 4 \sqrt{3 y} = 2 \sqrt{3 y} , 2 \sqrt{108 y} = 2 \cdot 6 \sqrt{3 y} = 12 \sqrt{3 y}$
Далее приведем подобные слагаемые и получим: $\sqrt{12 y} - 0,5 \sqrt{48 y} + 2 \sqrt{108 y} = 2 \sqrt{3 y} - 2 \sqrt{3 y} + 12 \sqrt{3 y} = ( 2 - 2 + 12 ) \sqrt{3 y} = 12 \sqrt{3 y}$
Ответ: $12 \sqrt{3 y}$.
Пример 2
Сократите дробь $\frac{a^{2} - 3}{a - \sqrt{3}}$.
Решение
Воспользуемся следствием из определения: $3 = ( \sqrt{3} )^{2}$. Тогда числитель дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений и разложить его на множители с помощью формулы сокращенного умножения, затем дробь можно сократить:
$\frac{a^{2} - 3}{a - \sqrt{3}} = \frac{a^{2} - ( \sqrt{3} )^{2}}{a - \sqrt{3}} = \frac{( a - \sqrt{3} ) ( a + \sqrt{3} )}{a - \sqrt{3}} = a + \sqrt{3}$.
Ответ: $a + \sqrt{3}$.
Упражнение 1
Упростите выражение:
а) $\sqrt{4 x} + \sqrt{64 x} - \sqrt{81 x}$;
б) $\sqrt{27 b} - \sqrt{48 b} + \sqrt{75 b}$;
в) $2 \sqrt{8 a} - 4 \sqrt{18 a} + \sqrt{72 a}$.
Упражнение 2
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $\frac{\sqrt{7} - y}{7 - y^{2}}$; б) $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{b - c}$; в) $\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Пример 3
Преобразуйте дробь $\frac{5 c}{\sqrt{6}}$ так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.
Решение
Воспользуемся основным свойством дроби, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{6}$:
$\frac{5 c}{\sqrt{6}} = \frac{5 c \sqrt{6}}{( \sqrt{6} )^{2}} = \frac{5 c \sqrt{6}}{6}$
Ответ: $\frac{5 c \sqrt{6}}{6}$.
Если заменили дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень, на тождественно равную ей дробь, не содержащую в знаменателе знак корня, говорят, что освободились от иррациональности в знаменателе дроби.
Пример 4
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}$.
Решение
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $\sqrt{x} - \sqrt{a}$ (его называют сопряженным выражению $\sqrt{x} + \sqrt{a}$):
$\frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} = \frac{a ( \sqrt{x} - \sqrt{a} )}{( \sqrt{x} + \sqrt{a} ) ( \sqrt{x} - \sqrt{a} )} = \frac{a ( \sqrt{x} - \sqrt{a} )}{( \sqrt{x} )^{2} - ( \sqrt{a} )^{2}} = \frac{a ( \sqrt{x} - \sqrt{a} )}{x - a} = \frac{a \sqrt{x} - a \sqrt{a}}{x - a}$
Т.е. для освобождения от иррациональности мы домножили дробь так, чтобы в знаменателе была разность квадратов.
Ответ:$\frac{a \sqrt{x} - a \sqrt{a}}{x - a}$.
Упражнение 3
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $\frac{7}{3 \sqrt{2}}$; б) $\frac{2}{\sqrt{y}}$; в) $\frac{10}{\sqrt{6} + 1}$; г) $\frac{b}{b - \sqrt{c}}$
Контрольные вопросы
1. Какие свойства арифметического корня применяют при преобразовании выражений, содержащих квадратные корни?
2. Что значит избавиться от иррациональности в знаменателе дроби?
3. На чем основано освобождение от иррациональности в знаменателе дроби?
Упражнение 1
а) $\sqrt{x}$; б) $4 \sqrt{3 b}$; в) $- 2 \sqrt{2 a}$.
Упражнение 2
а) $\frac{1}{\sqrt{7} + y}$; б) $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$; в) $\sqrt{5} - 1$.
Упражнение 3
а) $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$; б) $\frac{2 \sqrt{y}}{y}$; в) $2 \sqrt{6} - 2$; г) $\frac{b^{2} + b \sqrt{c}}{b^{2} - c}$.
