Конспект урока: Площадь параллелограмма. Площадь треугольника

Рис. 1. Ромб ABCD

По определению ромбом называют параллелограмм, стороны которого равны, следовательно, площадь ромба можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к данной стороне. Помимо этого, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, диагоналями ромб делится на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами, равными половине диагонали.

Рассмотрим ромб $A B C D$, диагонали $A C$ и $B D$ которого пересекаются в точке $O$ (рис. 1),

$A O = O C = \frac{1}{2} A C$, $B O = O D = \frac{1}{2} B D$.

$S_{\triangle A B O} = \frac{1}{2} A O \cdot B O = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} A C \cdot \frac{1}{2} B D =$

$= \frac{1}{8} A C \cdot B D$

$S_{A B C D} = 4 \cdot S_{\triangle A B O} = 4 \cdot \frac{1}{8} A C \cdot B D = \frac{1}{2} A C \cdot B D$.

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Рис. 2. Четырехугольник ABCD

Рассмотрим четырехугольник $A B C D$, диагонали которого $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $O$, $A C \bot B D$ (рис. 2)

$S_{A B C D} = S_{\triangle A B C} + S_{\triangle A D C}$

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot B O + \frac{1}{2} A C \cdot D O$

$A_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot ( B O + D O )$

$A_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot B D$.

Теорема доказана.