Конспект урока: Корень n-ой степени

Корень $n$-й степени

Решим уравнения $x^{2} = 9$ и $x^{2} = 11$. Первое уравнение ни у кого из вас не должно вызвать сложности:

$x^{2} = 9$, $x_{1} = 3$, $x_{2} = - 3$.

Второе уравнение выглядит немного сложнее, так как нет такого целого числа, которое при возведении в квадрат дало бы 11. Для записи решения таких уравнений в математике есть специальный символ: $\sqrt{}$. Тогда можем легко записать решение для второго уравнения:

$x^{2} = 11$, $x_{1} = \sqrt{11}$, $x_{2} = - \sqrt{11}$.

Напомним, что числа, которые записываются с помощью корня квадратного ($\sqrt{}$) называются иррациональными, а квадратным корнем из числа $a$ называется такое число, квадрат которого равен $a$:

$\sqrt{a} = b$, если $b^{2} = a$.

Аналогично определяется корень любой натуральной степени $n$.

Нахождение значения корня  $n$-й степени

Рассмотрим степенную функцию $y = x^{n}$ с нечётным показателем $n$ (рис.1). Для любого числа $a$ существует единственное значение $x$, $n$-я степень которого равна $a .$ Это значение является корнем $n$-й степени из числа $a$. Для записи корня нечётной степени $n$ из числа $a$ используют обозначение $\sqrt[n]{a}$(читают: «корень $n$-й степени из $a$»).

n, n-нечётное" loading="lazy" /> Рис. 1. Функция y=xⁿ, n-нечётное

Вычислить $\sqrt[3]{125}$ и $\sqrt[7]{- 128}$.

Решение

Из определения корня следует, что $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^{3} = 125$.

Аналогично, из определения корня следует, что $\sqrt[7]{- 128} = - 2$, так как $\left( - 2 \right)^{7} = - 128 .$

Ответ: $5$;  $- 2$.

1. $\sqrt[3]{216}$  2. $\sqrt[5]{- 0,00243}$  3. $\sqrt[7]{\frac{2187}{128}}$

n, n-чётное" loading="lazy" /> Рис. 2. Функция y=xⁿ, n-чётное

Рассмотрим теперь степенную функцию $y = x^{n}$ с чётным показателем $n$ (рис.2). При любом $a > 0$ существуют два противоположных значения $x$, $n$-я степень которых равна $a$. При $a = 0$ такое число одно (число 0), при $a < 0$таких чисел нет. Другими словами, если $n$ чётное число и $a > 0$, то существует два корня $n$-й степени из $a$. Эти корни являются противоположными числами. Если $a = 0$, то корень $n$-й степени из $a$ равен нулю. 

 

Если $a < 0$и $n$ - чётное число, то корня $n$-й степени из $a$ не существует.

В случае чётного $n$ знаком $\sqrt[n]{a}$ обозначают неотрицательный корень $n$-й степени из $a$. Отрицательный корень  $n$-й степени из $a$ (при $a > 0$) записывается так: $- \sqrt[n]{a} .$ 

Выражение $\sqrt[n]{a}$ при чётном $n$ и $a < 0$не имеет смысла.

Если $n = 2$, то показатель не пишется ($\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$).

Вычислить $\sqrt[4]{16}$.

Решение

Запись $\sqrt[4]{16}$ означает неотрицательный корень четвёртой степени из 16.

Имеем $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2$ - неотрицательное число и $2^{4} = 16$.

Ответ: $2$.

Вычислить:

1. $\sqrt{256}$ 2. $- \sqrt[4]{0,0625}$ 3. $\sqrt[6]{\frac{4096}{15625}}$

Арифметический корень $n$-й степени

Итак, если $n$- нечётное число, то выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл при любом $a$; если $n$- чётное число, то выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл лишь при любом $a \geq 0$.

Выражение $\sqrt[n]{a}$ при $a \geq 0$ имеет смысл как при чётном, так и при нечётном $n$, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем  $n$-й степени из $a$.

Арифметическим корнем  $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Корень нечётной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. 

Например, $\sqrt[3]{- 27} = - \sqrt[3]{27}$, так как $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ и $- \sqrt[3]{27} = - 3$.

При нахождении корня $n$-й степени из положительного числа $a$ используют представление выражения $\sqrt[n]{a}$, где $a > 0$, в виде степени числа $a$ с дробным показателем. 

1. Найдите значение выражения:

а)  $\left(- 4 \sqrt[3]{- 5}\right)^{3}$ б) $\left(2 \sqrt[5]{- 7}\right)^{5}$ в) $\left(7 \sqrt[4]{2}\right)^{4}$

2. Представьте корень $n$-й степени в виде числа в дробной степени:

а) $\sqrt{13}$ б) $\sqrt[3]{47}$ в) $\sqrt[8]{61}$