- Механическая энергия системы тел. Закон изменения механической энергии
- Закон сохранения механической энергии
- Примеры решения задач
- знать понятие «механическая энергия системы тел»; законы сохранения и изменения механической энергии системы
- уметь применять законы сохранения и изменения механической энергии системы при решении задач
- По какой формуле рассчитывается кинетическая энергия?
- По какой формуле рассчитывается потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли?
- Какой энергией обладает тело, брошенное вертикально вверх в наивысшей точке траектории?
Механическая энергия системы тел. Закон изменения механической энергии
Тело, брошенное под углом к горизонту, на протяжении своего пути будет обладать и кинетической, и потенциальной энергией взаимодействия с Землёй.
Аналогично пружина, пришедшая в движении в результате деформации, обладает и кинетической, и потенциальной энергией деформированной пружины. Сумма двух видов энергий называется механической энергией системы Eмех:
$E_{\text{м}ex} = E_{\text{п}o\text{т}} + E_{\text{кин}}$.
Eмех [Дж] — механическая энергия тела;
Eпот [Дж] — потенциальная энергия тела;
Eкин [Дж] — кинетическая энергия тела.
Механическая энергия системы тел (тела) Eмех — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы (тела): $E_{\text{м}ex} = E_{\text{п}o\text{т}} + E_{\text{кин}}$.
Пусть работа всех сил, действующих на материальную точку, равна А. Тогда в соответствии с теоремой о кинетической энергии справедливо следующее выражение:
$E_{\text{кин} 0} + A = E_{\text{кин}}$,
где работа А всех сил представляет собой сумму работы внутренних потенциальных сил Aп, работы внутренних сил трения Aтр и работы внешних сил Aex:
$A = A_{\text{п}} + A_{\text{т}p} + A_{ex}$.
С учётом выражения выше формула принимает следующий вид:
$E_{\text{кин} 0} + A_{\text{п}} + A_{\text{т}p} + A_{ex} = E_{\text{кин}}$.
Работа потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии системы, взятой со знаком минус:
$A_{\text{п}} = - ( E_{\text{п}o\text{т}} - E_{\text{п}o\text{т} 0} ) = E_{\text{п}o\text{т} 0} - E_{\text{п}o\text{т}}$.
Подставим это уравнение в формулу выше:
$E_{\text{кин} 0} + E_{\text{п}o\text{т} 0} - E_{\text{п}o\text{т}} + A_{\text{т}p} + A_{ex} = E_{\text{кин}}$.
Запишем полученное выражение иначе:
$E_{\text{кин} 0} + E_{\text{п}o\text{т} 0} + A_{\text{т}p} + A_{ex} = E_{\text{кин}} + E_{\text{п}o\text{т}}$.
Механическая энергия системы — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы, начальная и конечная механические энергии системы соответственно равны:
$E_{\text{м}ex 0} = E_{\text{кин} 0} + E_{\text{п}o\text{т} 0}$ и $E_{\text{м}ex} = E_{\text{кин}} + E_{\text{п}o\text{т}}$.
Тогда выражение можно записать в следующем виде:
$E_{\text{м}ex 0} + A_{\text{т}p} + A_{ex} = E_{\text{м}ex}$.
Формула выше говорит о том, что механическая энергия системы изменится при совершении работы внутренними силами трения и в случае совершения работы над телами системы внешними силами.
Закон изменения механической энергии системы тел: изменение механической энергии системы тел равно сумме работ внутренних сил трения Aтр и внешних сил над телами системы Aex: $E_{\text{м}ex} - E_{\text{м}ex 0} = A_{\text{т}p} + A_{ex}$.
Закон сохранения механической энергии
Закон сохранения механической энергии является следствием закона изменения механической энергии.
Закон сохранения механической энергии системы тел: если сумма работ внутренних сил трения Aтр и внешних сил над телами системы Aex равна нулю, то механическая энергия системы не изменяется: $E_{\text{м}ex} = E_{\text{м}ex 0}$, при $A_{\text{т}p} + A_{ex} = 0$.
Закон сохранения энергии можно записать иначе:
$E_{\text{кин} 0} + E_{\text{п}o\text{т} 0} = E_{\text{кин}} + E_{\text{п}o\text{т}}$.
Законы сохранения и изменения энергии позволяют облегчить решение задач кинематики и динамики.
Например, необходимо найти максимальную высоту H, на которую поднимется тело, брошенное под углом к горизонту.
Известно, что начальная скорость тела равна $v_{0}$, скорость в наивысшей точке траектории — $v$.
В начальный момент времени тело находится на Земле, следовательно, его потенциальная энергия равна нулю $E_{\text{п}o\text{т} 0} = 0$, начальная кинетическая энергия тела равна $E_{\text{кин} 0} = \frac{m \cdot \left(v_{0}\right)^{2}}{2}$.
В наивысшей точке траектории потенциальная энергия тела равна $E_{\text{п}o\text{т}} = m \cdot g \cdot H$, а кинетическая энергия $E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$.
Воспользуемся законом сохранения энергии:
$E_{\text{кин} 0} = E_{\text{кин}} + E_{\text{п}o\text{т}} \Leftrightarrow \frac{m \cdot \left(v_{0}\right)^{2}}{2} = \frac{m \cdot v^{2}}{2} + m \cdot g \cdot H$.
Сократим обе части этого уравнения на массу и выразим искомую высоту:
$H = \frac{\left(v_{0}\right)^{2} - v^{2}}{2 \cdot g}$.
Примеры решения задач
Пример 1
С крыши многоэтажного дома высотой 100 м бросили камень под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Найти модуль конечной скорости камня при его приземлении на Землю. Потерями энергии пренебречь.
Решение
1. Будем считать камень материальной точкой. Систему отсчёта свяжем с Землёй.
2. По условию задачи потерями энергии в процессе движения камня можно пренебречь, поэтому можно воспользоваться законом сохранения энергии:
$E_{\text{кин} 0} + E_{\text{п}o\text{т} 0} = E_{\text{кин}} + E_{\text{п}o\text{т}}$.
3. Определим значения кинетической и потенциальной энергии камня в начальный и конечный моменты времени.
Камень бросают с высоты h = 100 м, следовательно, его начальная потенциальная энергия равна $E_{\text{п}o\text{т} 0} = m \cdot g \cdot h$. Начальную скорость обозначим $v_{0}$, тогда начальная кинетическая энергия равна
$E_{\text{кин} 0} = \frac{m \cdot \left(v_{0}\right)^{2}}{2}$.
В момент приземления на Землю потенциальная энергия тела равна нулю $E_{\text{п}o\text{т}} = 0$, а кинетическая энергия равна $E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$.
4. Подставляем выражения, полученные для кинетических и потенциальных энергий, в формулу закона сохранения энергии и выражаем конечную скорость камня:
$\frac{m \cdot \left(v_{0}\right)^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$;
$v = \sqrt[2]{\left(v_{0}\right)^{2} + 2 \cdot g \cdot h} = \sqrt[2]{5^{2} + 2 \cdot 10 \cdot 100} = 45 \text{м} / c$.
Ответ: $v = 45 \text{м} / c$.
Пример 2
После удара клюшкой шайба массой 200 г въезжает на наклонную ледяную плоскость с начальной скоростью 20 м/с. Угол наклона плоскости составляет 45° с горизонтом, коэффициент трения шайбы о лёд равен 0,4. Найти максимальную высоту, на которую поднимется шайба до полной потери скорости.
Решение
Рис. 1. Иллюстрация к примеру 2
1. Будем считать шайбу материальной точкой. Систему отсчёта свяжем с Землёй, ось ОХ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения шайбы (рис. 1).
Изобразим силы, действующие на шайбу: сила трения, сила тяжести и сила реакции опоры.
2. На шайбу не действуют внешние силы, но есть потери механической энергии на трение. Закон изменения механической энергии будет иметь следующий вид:
$E_{\text{м}ex 0} + A_{\text{т}p} = E_{\text{м}ex}$
или
$E_{\text{кин} 0} + E_{\text{п}o\text{т} 0} + A_{\text{т}p} = E_{\text{кин}} + E_{\text{п}o\text{т}}$.
3. Найдём работу силы трения:
$A_{\text{т}p} = F_{\text{т}p} \cdot \Delta x \cdot \cos ( 180^{\circ} ) = - F_{\text{т}p} \cdot \Delta x$.
Перемещение тела вдоль наклонной плоскости Δх можно найти через синус угла $\alpha$ и высоту h, на которую поднимется шайба:
$\sin ( \alpha ) = \frac{h}{\Delta x}$;
$\Delta x = \frac{h}{\sin ( \alpha )}$.
Силу трения можно найти по следующей формуле:
$F_{\text{т}p} = \mu \cdot N = \mu \cdot \cos ( \alpha ) \cdot m \cdot g$,
тогда с учётом формул выше работа силы трения равна:
$A_{\text{т}p} = - \mu \cdot \cos ( \alpha ) \cdot m \cdot g \cdot \frac{h}{\sin ( \alpha )} = - \mu \cdot m \cdot g \cdot h \cdot \operatorname{ctg} ( \alpha )$.
4. Определим значения кинетической и потенциальной энергии шайбы в начальный и конечный моменты времени.
У основания наклонной плоскости потенциальная энергия шайбы равна нулю $E_{\text{п}o\text{т} 0} = 0$. Начальная кинетическая энергия шайбы равна $E_{\text{кин} 0} = \frac{m \cdot \left(v_{0}\right)^{2}}{2}$.
В наивысшей точке подъёма скорость шайбы равна нулю $E_{\text{кин}} = 0$, потенциальная энергия равна $E_{\text{п}o\text{т}} = m \cdot g \cdot h$.
5. Подставляем выражения, полученные для кинетических и потенциальных энергий, а также соотношение выше в формулу и выражаем искомую высоту:
$\frac{m \cdot \left(v_{0}\right)^{2}}{2} - \mu \cdot m \cdot g \cdot h \cdot \operatorname{ctg} ( \alpha ) = m \cdot g \cdot h$;
$h = \frac{\left(v_{0}\right)^{2}}{2 \cdot g \cdot ( \mu \cdot \operatorname{ctg} ( \alpha ) + 1 )} = \frac{20^{2}}{2 \cdot 10 \cdot ( 0,4 \cdot \operatorname{ctg} ( 45^{\circ} ) + 1 )} \approx 14,3 \text{м}$.
Ответ: $h = 14,3 \text{м}$.
Итоги
- Механическая энергия системы тел $E_{\text{мех}}$ — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы (тела): $E_{\text{мех}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}$.
- Закон изменения механической энергии системы тел: изменение механической энергии системы тел равно сумме работ внутренних сил трения $A_{\text{тр}}$ и внешних сил над телами системы $A_{e x}$: $E_{\text{мех}} - E_{\text{мех} 0} = A_{\text{тр}} + A_{e x}$.
- Закон сохранения механической энергии системы тел: если сумма работ внутренних сил трения $A_{\text{тр}}$ и внешних сил над телами системы Aex равна нулю, то механическая энергия системы не изменяется: $E_{\text{мех}} = E_{\text{мех} 0}$, при $A_{\text{тр}} + A_{e x} = 0$.
Упражнение 1
1. Тело массой 5 кг свободно падает с высоты 10 м. Найти потенциальную и кинетическую энергию тела на высоте 4 м от поверхности Земли. Потерями энергии в процессе движения пренебречь.
2. При подготовке пружинного пистолета к выстрелу пружину жёсткостью 2 кН/м сжали на 2 см. Какую скорость приобретёт пуля массой 200 г в момент выстрела? Потерями энергии пренебречь.
3. Санки с человеком общей массой 70 кг скатываются с горы высотой
10 м и длиной 80 м. Найти силу трения, действующую на санки, если в конце спуска они развили скорость 5 м/с, а на вершине горы их скорость была равна нулю.
Контрольные вопросы
1. Что такое механическая энергия системы тел?
2. Сформулируйте закон изменения механической энергии.
3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
Упражнение 1
1. Eпот = 200 Дж; Eкин = 300 Дж
2. $v$ = 2 м/с
3. Fтр = 76,6 Н
