- Синус, косинус, тангенс, котангенс
- Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
- Формулы для вычисления координат точки
- Уметь строить единичную полуокружность.
- Знать, что такое синус и косинус угла $\alpha$ из промежутка 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º
- Знать понятие тангенс угла $\alpha$, для какого значения $\alpha$ тангенс не определён и почему
- Знать понятие котангенс угла $\alpha$, для какого значения $\alpha$ котангенс не определён и почему
- Знать и уметь доказывать основное тригонометрическое тождество
- Знать формулы приведения
- Уметь применять формулы приведения при решении задач
- Знать и уметь применять формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox
- Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите синус меньшего острого угла этого треугольника
- Стороны прямоугольного треугольника равны 26 м, 24 м и 10 м. Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника
- Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
Синус, косинус, тангенс, котангенс
В курсе геометрии 8 класса вы познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Вспомним их:
Синусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{B C}{B D}$ (рис.1).
Косинусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{C D}{B D}$ (рис.1).
Тангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{B C}{C D} ;$ $\operatorname{tg} \alpha = \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha}$ (рис.1).
Котангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a} = \frac{C D}{B C} ; \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (рис.1).
Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30°, 45° и 60°. Вспомним ее:
|
угол, $\alpha$
|
30°
|
45°
|
60°
|
|
sin $\alpha$
|
$\frac{1}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
|
cos $\alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{1}{2}$
|
|
tg $\alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
1
|
$\sqrt{3}$
|
|
ctg $\alpha$
|
$\sqrt{3}$
|
1
|
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
Рис. 2 . Полуокружность
Познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0° до 180º.
Построим в прямоугольной системе координат полуокружность, радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат (рис. 2).
Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки O проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность в точке $M ( x ; y )$. Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за $\alpha$. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то угол $\alpha$ равен 0º. Если луч h совпадает с осью Oy, то $\alpha = 90^{\circ}$. Если луч h совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, то $\alpha = 180^{\circ}$.
Опустим из точки М перпендикуляр MD на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник OMD. Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM = 1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD = y, а ОD = x. Тогда $\sin \alpha = \frac{M D}{O M} = \frac{y}{1} = y , \cos \alpha = \frac{O D}{O M} = \frac{x}{1} = x$. Мы получили, что синус острого угла $\alpha$ равен ординате точки М, а косинус острого угла $\alpha$ равен абсциссе точки М.
По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.
Для любого угла $\alpha$, 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º, синусом угла $\alpha$ называется ордината y точки M, а косинусом угла $\alpha$ - абсцисса x точки M, где $M ( x ; y )$ - произвольная точка единичной полуокружности
Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменяться от 0 до 1, значит, и синус угла $\alpha$ из промежутка от 0° до 180º может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменяться от -1 до 1, то есть и косинус угла $\alpha$ из промежутка от 0° до 180º может изменяться от -1 до 1.
0 ≤ y ≤ 1, следовательно, 0 ≤ $\sin \alpha$ ≤ 1;
-1 ≤ x ≤ 1, следовательно, -1 ≤ $\cos \alpha$ ≤ 1.
Пример 1
Может ли:
а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равной 0,5; $\frac{1}{4} ; - \frac{1}{3}$; 5?
б) ордината точки единичной полуокружности быть равной 0,7; $\frac{1}{3} ; - \frac{1}{4} ;$ 7?
Решение
а) Поскольку полуокружность единичная, значит, абсцисса точки должна принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна 0,5; $\frac{1}{4} ; - \frac{1}{3}$, но не может быть равна 5.
б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна 0,7; $\frac{1}{3}$, но не может быть равна $- \frac{1}{4}$; 7.
Рис. 3. Полуокружность
Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА (рис. 3). На единичной полуокружности точка A имеет координаты
(1; 0), значит, sin 0º = y = 0, а cos 0º = x = 1.
Найдем теперь значения sin 90º и
cos 90º. Этот угол задается лучом OB. Координаты точки B равны (0; 1), значит,
sin 90º = y = 1, cos 90º = x = 0.
Проводя аналогичные рассуждения, получим
sin 180º = y = 0, а cos 180º = x = - 1.
Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:
|
угол, $\alpha$
|
30°
|
45°
|
60°
|
0°
|
90°
|
180°
|
|
sin $\alpha$
|
$\frac{1}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
0
|
1
|
0
|
|
cos $\alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{1}{2}$
|
1
|
0
|
$-$1
|
Пример 2
Определить координаты точки M (x; y), лежащей на единичной полуокружности (рис.2), если:
а) $\alpha$ = 30°; б) $\alpha$ = 45°; в) $\alpha$ = 90°.
* $\alpha$ - угол между лучом OM и положительной полуосью Ox.
Решение
а) cos 30º = x = $\frac{\sqrt{3}}{2} ;$ sin 30º = y = $\frac{1}{2}$, следовательно, M ($\frac{\sqrt{3}}{2} ;$ $\frac{1}{2}$).
б) cos 45º = x = $\frac{\sqrt{2}}{2} ;$ sin 45º = y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно,
M ($\frac{\sqrt{2}}{2} ;$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$).
в) cos 90º = x = 0; sin 90º = y = 1, следовательно, M (0; 1).
Ответ: а) M($\frac{\sqrt{3}}{2} ;$ $\frac{1}{2}$); б) M($\frac{\sqrt{2}}{2} ;$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$); в) M(0; 1).
Тангенсом острого угла мы называли отношение синуса этого угла к его косинусу, т.е. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его косинус равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточним определение тангенса.
Тангенсом угла $\alpha$, где 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º, $\alpha$≠ 90º, называется отношение синуса этого угла к его косинусу
$\mathbf{\mathit{t}} \mathbf{\mathit{g}} \mathbf{\mathit{\alpha}} = \frac{\mathbf{s} \mathbf{i} \mathbf{n} \mathbf{\alpha}}{\mathbf{c} \mathbf{o} \mathbf{s} \mathbf{\alpha}}$
Котангенсом острого угла мы называли отношение косинуса этого угла к его синусу, т.е. $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то синус этих углов равен 0, а, значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому $\operatorname{ctg} 0^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 180^{\circ}$ не существует. Таким образом, уточним определение котангенса.
Котангенсом угла $\alpha$, где 0° < $\alpha$<180º, называется отношение косинуса этого угла к его синусу
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Дополним известную нам таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
|
угол, $\alpha$
|
30°
|
45°
|
60°
|
0°
|
90°
|
180°
|
|
sin $\alpha$
|
$\frac{1}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
0
|
1
|
0
|
|
cos $\alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{1}{2}$
|
1
|
0
|
$-$1
|
|
tg $\alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
1
|
$\sqrt{3}$
|
0
|
-
|
0
|
|
ctg $\alpha$ |
$\sqrt{3}$
|
1
|
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
-
|
0
|
-
|
Рис. 4. Окружность (O; 1)
Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
Вспомним уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x0; y0): $\left( x - x _{0} \right)^{2} + \left( y - y _{0} \right)^{2} = r^{2}$.
Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: x2 + y2 = r2.
Наша единичная полуокружность – это часть окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис.4). Тогда уравнение этой окружности можно записать в виде
x2 + y2 = 1.
То есть координаты всех точек должны удовлетворять этому уравнению.
Но координаты точки окружности есть не что иное, как косинус и синус угла, который соответствует этой точке.
Тогда $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 .$
Равенство $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$, $0^{\circ} \leq \alpha \leq 180 o$, называется основным тригонометрическим тождеством.
Пример 3
Найдите sin$\alpha$, если cos$\alpha$ = $\frac{1}{2} .$
Решение
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$
$\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha$;
$\sin^{2} \alpha = 1 – \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Рис. 5. Полуокружность (O; 1)
Вернемся к единичной полуокружности и проведем два луча ОМ и OB (рис. 5).
Из точки М опустим два перпендикуляра к осям Oy и Ox и обозначим точки пересечения этих прямых с осями точками C и D соответственно.
Очевидно, ∠DOB = 90°. Если ∠DOM = $\alpha ,$ то ∠BOM = 90° - $\alpha$. Рассмотрим $\Delta$DОМ и
$\Delta$МОC. Это прямоугольные треугольники с общей гипотенузой ОМ: $\sin \alpha = \frac{D M}{O M} , \cos \alpha = \frac{O D}{O M} ,$ $\sin ( 90^{\circ} - \alpha ) = \frac{C M}{O M}$, CM = OD, следовательно, $\sin ( 90^{\circ} - \alpha ) = \frac{O D}{O M} ,$ $\cos ( 90^{\circ} - \alpha ) = \frac{O C}{O M}$, OC = DM, следовательно, $\cos ( 90^{\circ} - \alpha ) = \frac{D M}{O M}$
Посмотрим на полученные равенства.
Итак, если 0° ≤ $\alpha$ ≤ 90º, то $\sin ( 90^{\circ} - \alpha ) = \cos \alpha ; \cos ( 90^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha$
Аналогично выводятся формулы $\cos ( 180^{\circ} - \alpha ) = - \cos \alpha$, $\sin ( 180^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha$ для всех углов $\alpha$ из промежутка от 0º до 180º. Эти формулы называются формулами приведения.
Итак,
Если 0° ≤ $\alpha$ ≤ 90º, то
$\sin ( 90^{\circ} - \alpha ) = \cos \alpha ; \cos ( 90^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha$.
Если 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º, то
$\sin ( 180^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha , \cos ( 180^{\circ} - \alpha ) = - \cos \alpha$.
Проверим выполнение этих формул на конкретном примере.
Пример 4
Вычислите а) sin 30º; б) sin 120º.
Решение
а) $\sin 30^{\circ} = \sin ( 90^{\circ} - 60^{\circ} ) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} ;$
б) $\sin 120^{\circ} = \sin ( 180^{\circ} - 60^{\circ} ) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$
Ответ: a)$\frac{1}{2}$; б)$\frac{\sqrt{3}}{2} .$
Рис. 6. Полуокружность (O; 1)
Формулы для вычисления координат точки
Рассмотрим задачу: необходимо определить координаты точки A, которая расположена в верхней координатной полуплоскости. Построим в этой полуплоскости единичную полуокружность. Соединим точку A с центром полуокружности, обозначим за М точку пересечения отрезка ОА и полуокружности.
Координаты точки M равны $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ соответственно (рис. 6). Вектор $\overrightarrow{O M}$ имеет те же координаты (как радиус-вектор точки), что и точка M, т. е. $\overrightarrow{O M} \left\{\right. \cos \alpha ; \sin \alpha \left.\right\}$.
$\overrightarrow{O M} \uparrow \uparrow \overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{| O M |} = 1$, тогда $\overrightarrow{O A} = O A \cdot \overrightarrow{O M}$, $\overrightarrow{O A} \left\{\right. O A \cdot \cos \alpha ; O A \cdot \sin \alpha \left.\right\}$. Но, с другой стороны, у вектора $\overrightarrow{O A}$ координаты $x$ и $y$ соответственно. Тогда $x = O A \cdot \cos \alpha$, $y = O A \cdot \sin \alpha$, т. е. $A ( O A \cdot \cos \alpha ; O A \cdot \sin \alpha )$.
Проанализируем знаки координат точки A. Координаты точки зависят от величины отрезка ОА, (а это всегда положительное число), и от знака синуса и косинуса угла $\alpha$. Синус произвольного угла из промежутка от 0°до 180º находится в промежутке от 0 до 1, то есть принимает неотрицательные значения. Косинус угла может принимать значения от -1 до 1, то есть быть как положительным, так и отрицательным. Значит, можно записать, что y ≥ 0 при
0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º; x ≥ 0 при 0° ≤ $\alpha$ ≤ 90º и x < 0 при 90° < $\alpha$ ≤ 180º.
Пример 5
Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен $\alpha$. Найдите координаты точки
A (x; y), если OA = 3 и $\alpha$ =45º.
Решение
1. $x = O A \cdot \cos \alpha ; y = O A \cdot \sin \alpha ;$
2. $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$значит, $y = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} ;$
3. $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, значит, $x = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} ;$
4. A ($\frac{3 \sqrt{2}}{2}$; $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$).
Ответ: A ($\frac{3 \sqrt{2}}{2}$; $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$).
Упражнение 1
1. Может ли: а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равной 0,6; $\frac{1}{7}$; $- \frac{1}{4}$; 4?
б) ордината точки единичной полуокружности быть равна 0,5; $\frac{1}{6}$; $- \frac{1}{5}$; 6?
2. Определите координаты точки M (x; y), лежащей на единичной полуокружности (рис.2), если:
а) $\alpha$ = 60°; б) $\alpha$ = 180°.
*$\alpha$ - угол между лучом OM и положительной полуосью Ox
3. Вычислите а) cos 30º; б) cos 120º.
4. Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен $\alpha$. Найдите координаты точки
A (x; y), если OA = 2 и $\alpha$ = 30º.
Контрольные вопросы
1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.
2. Объясните, что такое синус и косинус угла $\alpha$ из промежутка
0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º.
3. Что называется тангенсом угла $\alpha$? Для какого значения $\alpha$ тангенс не определён и почему?
4. Что называется котангенсом угла $\alpha$? Для какого значения $\alpha$ котангенс не определён и почему?
5. Докажите основное тригонометрическое тождество.
6. Напишите формулы приведения.
7. Назовите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.
Ответы
- а) 0,6; $\frac{1}{7}$; $- \frac{1}{4}$ - может; 4 – не может; б) 0,5; $\frac{1}{6}$ – может; $- \frac{1}{5}$; 6 – не может.
- а) M ($\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$); б) M (-1; 0).
- а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; б) $- \frac{1}{2}$.
- A($\sqrt{3}$; 1).
