Конспект урока: Соотношения между сторонами и углами треугольника

Рис. 1. Теорема о площади треугольника

Доказательство

Дан треугольник . Найдем его площадь.

Пусть сторона $B C = a , A C = b , \angle C = \alpha$

Введем систему координат с началом в точке $C$ (рис. 1). Тогда координаты точки $B$ равны: $x = a \cdot \cos \alpha , y = a \cdot \sin \alpha .$

Высота треугольника $A B C$, проведенная к стороне $A C$, равна $B H$. Но, с другой стороны, $B H -$ это ордината точки $B$ т.е. $B H = a \cdot \sin \alpha .$

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда

$\left(S_{\Delta}\right)_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} b \cdot ( a \cdot \sin \alpha ) = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \alpha .$

Таким образом, $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a b \sin \alpha$, где $a$, $b$ — стороны треугольника, $\alpha$ — угол между ними.

Теорема доказана

Рис. 2. Пример 1

Решение                                                                                                                                                             

Рассмотрим $\Delta A B C$, где $A B = 3 \sqrt{8} \text{см} ,$

$A C = 2 \text{см} , \angle A = 45^{\circ}$(рис. 2). 

$S_{\Delta_{A B C}} = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin A =$

$= \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{8} \cdot 2 \cdot \sin 45^{\circ} = 3 \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$

$= 6 ( \text{см}^{2} )$

Ответ: 6 cм².

Рис. 3. Теорема синусов

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть $A B = c , A C = b , B C = a$ (рис. 3). Используя теорему о площади, найдем площадь треугольника $A B C$ разными способами:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin C , S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A ,$ $S = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin B$

Приравняв первые два равенства, получим: $\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A$ , откуда $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C } .$Таким же образом, приравняв второе и третье равенство, получим $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B } .$

Таким образом, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Теорема доказана

Рис. 4. Пример 2

Решение

Рассмотрим треугольник  $O M K$, где $O K = 8 , M K = 6 , \sin O = \frac{1}{4}$(рис. 4). 

Применим к этому треугольнику теорему синусов: $\frac{M K}{\sin O} = \frac{O K}{\sin M}$, отсюда $\frac{6}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{\sin M} , \sin M = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Рис. 5. Теорема косинусов

Доказательство

Пусть в треугольнике $A B = c , A C = b , C B = a$.

Поместим треугольник $A B C$  в прямоугольную систему координат так, чтобы точка $A$ совпадала с началом координат, точка $B$ лежала на положительной полуоси 
$O x$, а точка $C$ располагалась в первой координатной четверти (рис. 5). 

Точка $B$ будет иметь координаты $( c ; 0 )$. Если из точки $C$ опустить перпендикуляр $C H$, то $\sin A = \frac{C H}{A C} , \cos A = \frac{A H}{A C}$, т.е. $C H = A C \sin A = b \sin A$,
$A H = A C \cos A = b \cos A$

$C H -$ это ордината точки $C$, а $A H -$ абсцисса точки $C$, поэтому точка $C$ имеет координаты $( b \cos A ; b \sin A )$.

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

$B C^{2} = a^{2} = \left( b \cos A - c \right)^{2} + b^{2} \sin^{2} A = b^{2} \cos^{2} A + b^{2} \sin^{2} A - 2 b c \cos A + c^{2} =$

$= b^{2} ( \cos^{2} A + \sin^{2} A ) - 2 b c \cos A + c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Теорема доказана

Рис. 7. Измерение расстояния до недоступной точки

Решение

На местности выберем точку $B$, измерим длину $c$ отрезка $A B$ и углы $A$ и $B : \angle A = \alpha , \angle B = \beta$

Теперь найдем угол $C :$ $\angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta$

$\sin C = \sin ( 180^{\circ} - \alpha - \beta ) =$

$= \sin ( \alpha + \beta )$.

Далее воспользуемся теоремой синусов: $\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} , A C = d , A B = c ,$ $\angle B = \beta ,$ тогда $d = \frac{c \sin \beta}{\sin ( \alpha + \beta )}$

Рис. 8. К решению примера 7

Пусть $A K$ — биссектриса угла $A$ треугольника $A B C$, $B K = 21$, $C K = 35$. Пусть $A B = x$, тогда 
$A C = 16 + x$.

По свойству биссектрисы угла: 

$\frac{A B}{B K} = \frac{A C}{C K}$,

$\frac{x}{21} = \frac{16 + x}{35}$,

                                       $35 x = 21 ( 16 + x )$,

                                                $x = 24$.

Тогда $A B = 24$, $A C = 40$, $B C = 56$. 

Используем в треугольнике $A B C$ теорему косинусов, и выразим косинус угла $A$:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$,

$\cos A = \frac{576 + 1600 - 3136}{2 \cdot 24 \cdot 40} = - \frac{1}{2}$.

Применив основное тригонометрическое тождество, получим $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.