Конспект урока: Относительность движения. Сложение движений. Примеры решения задач на сложение движений

Пример 1

Пловец переплывает реку шириной 500 м, двигаясь перпендикулярно течению реки. Найти скорость и перемещение пловца относительно берега, если известно, что его скорость относительно воды 4 м/с, а скорость течения реки 3 м/с.

Решение
 

1. Сделаем рисунок, на котором покажем, как направлены вектор скорости пловца относительно реки $\left(\overrightarrow{v}\right)_{1}$, вектор скорости течения $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ и вектор скорости пловца относительно берега $\overrightarrow{v}$.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

 

Из условия задачи известно, что векторы $\left(\overrightarrow{v}\right)_{1}$ и $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ взаимно перпендикулярны. Из правила сложения скоростей $\overrightarrow{v} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{1} + \left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ найдём направление вектора $\overrightarrow{v}$, применив правило треугольника (рис. 1).
 

Примем, что начало движения пловца совпадает с началом отсчёта: x₀ = 0, y₀ = 0.

Так как векторы $\left(\overrightarrow{v}\right)_{1}$ и $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ совпадают с проекциями вектора $\overrightarrow{v}$ на координатные оси $v_{x}$ и $v_{y}$, модуль скорости пловца относительно берега можно вычислить по следующей формуле:

$v = \sqrt[2]{\left(v_{1}\right)^{2} + \left(v_{2}\right)^{2}} = \sqrt[2]{4^{2} + 3^{2}} = 5 \text{м} / c$.

2. Перемещение пловца относительно берега $\Delta r$ можно найти через перемещения вдоль координатных осей

$\Delta r = \sqrt[2]{\left(r_{1}\right)^{2} + \left(r_{2}\right)^{2}}$

или через произведение скорости пловца относительно берега на время движения

$\Delta r = v \cdot t$.

Так как перемещение вдоль оси ОХ неизвестно, воспользуемся вторым способом.
 

Для этого необходимо найти время движения пловца. Запишем закон движения тела вдоль оси OY:
 

$y = y_{0} + v_{y} \cdot t = y_{0} + v_{1} \cdot t = 4 \cdot t$.

Известно, что ширина реки составляет 500 м, следовательно, через время t координата $y$, будет равна $y$ = 500 м. Отсюда находим время t:
 

$t = \frac{y}{4} = \frac{500}{4} = 125 c$.
 

Подставляем полученное значение в формулу выше и находим перемещение пловца относительно берега:
 

$\Delta r = v \cdot t = 5 \cdot 125 = 625 \text{м}$.

Ответ: $v = 5 \text{м} / c$; $\Delta r = 625 \text{м}$.

Пример 2

Моторная лодка переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость лодки относительно воды 10 м/с, скорость течения воды 6 м/с. Найти скорость и перемещение лодки относительно берега, если известно, что на другом берегу лодка оказалась через 2 минуты после начала движения.

Решение

1. Сделаем рисунок, на котором покажем, как направлены вектор скорости лодки относительно реки $\left(\overrightarrow{v}\right)_{1}$, вектор скорости течения $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ и вектор скорости лодки относительно берега $\overrightarrow{v}$.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В условии задачи говорится, что лодка движется к противоположному берегу по кратчайшему пути, следовательно, вектор скорости лодки относительно берега $\overrightarrow{v}$направлен перпендикулярно вектору скорости реки $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ (рис. 2).

 

Согласно правилу сложения скоростей при относительном движении $\overrightarrow{v} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{1} + \left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$, отсюда $\left(\overrightarrow{v}\right)_{1} = \overrightarrow{v} - \left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$.

Найдём неизвестное направление вектора $\left(\overrightarrow{v}\right)_{1}$ как разность $\overrightarrow{v}$ и $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ в соответствии с правилом вычитания векторов (рис. 3).

Рис. 3. Правило вычитания векторов

Из рисунка 3 видно, что модуль вектора $\overrightarrow{v}$ является катетом прямоугольного треугольника с катетом $v_{2}$ и гипотенузой $v_{1}$.
 

Тогда модуль вектора скорости лодки относительно берега можно найти по теореме Пифагора:

 

$v = \sqrt[2]{\left(v_{1}\right)^{2} \left(- v_{2}\right)^{2}} = \sqrt[2]{10^{2} - 6^{2}} = 8 \text{м} / c$.

2. Перемещение лодки относительно берега $\Delta r$ рассчитаем через произведение скорости лодки относительно берега на время движения:

$\Delta r = v \cdot t = 8 \cdot 120 = 960 \text{м}$.

Ответ: $v = 8 \text{м} / c$; $\Delta r = 960 \text{м}$.

Пример 3

Самолёт летит из города А в город В со скоростью 13 м/с относительно воздуха. На трассе полёта дует боковой ветер со скоростью 5 м/с, направление ветра перпендикулярно кратчайшему отрезку, соединяющему данные города. Определите скорость самолёта относительно земли.

Решение

В данной задаче следует иметь в виду, что пилот должен учитывать боковой ветер и выбирать направление движения самолёта таким образом, чтобы прилететь из пункта А в пункт В по кратчайшему пути. Поэтому вектор скорости самолёта относительно земли $\overrightarrow{v}$ должен быть направлен перпендикулярно вектору скорости ветра $\left(\overrightarrow{v}\right)_{2}$ (рис. 2 и рис. 3).

Из решения предыдущей задачи нам известно, что в данном случае модуль вектора $\overrightarrow{v}$ является катетом прямоугольного треугольника с катетом $v_{2}$ и гипотенузой $v_{1}$.
 

Тогда модуль вектора скорости самолёта относительно земли можно найти по теореме Пифагора:

$v = \sqrt[2]{\left(v_{1}\right)^{2} \left(- v_{2}\right)^{2}} = \sqrt[2]{13^{2} - 5^{2}} = 12 \text{м} / c$.

Ответ: $v = 12 \text{м} / c$.

Упражнение 1

1. Лодка, двигаясь вдоль берега, проходит 1,8 км по течению, разворачивается и возвращается в пункт отправления. Скорость лодки относительно воды 54 км/ч, скорость течения 3 м/с. Сколько времени лодка находилась в движении?
 

2. Пловец переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость пловца относительно воды 15 м/с, скорость течения 9 м/с. Найти скорость и перемещение пловца относительно берега, если пловец оказался на противоположном берегу через 2,5 минуты.
 

3. В безветренную погоду самолёт затрачивает на перелёт между городами 8 часов. Если во время полёта дует боковой ветер со скоростью 8 м/с, то время полёта увеличивается на некоторое значение. Определите, на сколько увеличивается время полёта, если скорость самолёта относительно воздуха постоянна и равна 17 м/с.

Упражнение 1

1. t = 250 с

2. $v$ = 12 м/с; $\Delta r$ = 1 800 м

3. Δt = 64 мин