Конспект урока: Целые и рациональные числа. Действительные числа

В начале изучения школьного курса математики произошло знакомство с числами, которые применяются при счете предметов, т.е. числами 1,2,3……, и называли их натуральными числами. В результате сложения, умножения натуральных чисел всегда получается натуральное число. Другими словами, множество $N = \left\{\right. 1 ; 2 ; 3 ; \ldots \left.\right\}$ натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Но, операции вычитания и деления на множестве N не всегда выполнимы. Например, 6 – 6 = 0, 8 – 13 = –5, числа 0 и –5 не являются натуральными числами.

Так, результат вычитания двух равных чисел приводит к понятию 0 и введению множества целых неотрицательных чисел $Z_{0} = \left\{\right. 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots \left.\right\}$, при этом натуральные числа называют целыми положительными числами. Для того, чтобы была выполнима операция вычитания, вводят понятие отрицательных целых чисел как чисел, противоположных натуральным. Таким образом, получают множество целых чисел $Z = \left\{\right. \ldots - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots . \left.\right\}$. Множество натуральных чисел является частью множества целых чисел. Это можно описать так $N \subset Z$.

Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, отличное от нуля, к множеству целых чисел добавляют множество всех положительных и отрицательных обыкновенных дробей и получают множество рациональных чисел

$Q = \left\{\right. \frac{m}{n} , \text{гд} e m \in Z , n \in N \left.\right\}$.

В результате сложения, вычитания, умножения, деления (на любое число, кроме 0), рациональных чисел всегда получается рациональное число.

Заметим, $N \subset Z \subset Q$.

Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. 

Если рациональное число можно представить в виде $\frac{m}{10^{n}}$ где $m \in Z , n \in N$, то его же можно записать и в виде конечной десятичной дроби. Например, $\frac{4}{100} = 0,04$, $\frac{50}{10000} = 0,005$, $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = 0,8$. Напомним, к виду $\frac{m}{10^{n}}$ можно привести дробь, у которой знаменатель в качестве простых делителей имеет только числа 2 и 5. 

Бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр, называется бесконечной периодической, а повторяющийся набор цифр –  периодом дроби. Например,  0,6666…. = 0,(6) и читается «нуль целых и шесть в периоде», а 2,46723723.. = 2,46(723) и читается «две целых, сорок шесть сотых и семьсот двадцать три в периоде».

Записать рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

а) натуральное число 36;

б) целое число –30;

в) обыкновенная дробь $\frac{43}{10}$;

г) обыкновенная дробь $- \frac{26}{15}$.

Решение
 

а) 36 = 36,00.. = 36,(0);

б) –30 = –30,00.. = –30,(0);

в) $\frac{43}{10} = 4,3000 . . = 4,3 ( 0 )$;

г) Воспользуемся алгоритмом деления в столбик

Получили,  $- \frac{26}{15} = - 1,7 ( 3 )$.

Ответ: а) 36,(0);    б) –30,(0);   в) $4,3 ( 0 )$;    г) $- 1,7 ( 3 )$.

Какое из чисел $\frac{1}{3} ; 20 \frac{5}{7} ; \frac{8}{21} ; \frac{3}{16}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби? Представьте это число в данном виде.

Какое из чисел $\frac{3}{4} ; \frac{6}{25} ; \frac{4}{9}$ можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Представьте это число в данном виде.

Вообще, при делении целого числа $m$ на натуральное число $n$ на некотором шаге остаток от деления может стать равным нулю или остатки начнут повторяться, т.к. каждый из остатков меньше $n$. Тогда начинают повторяться и цифры частного.

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Записать бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной:

а) 1,6(48);

б) 2,(183)

Решение
 

а) Пусть $x = 1,6 ( 48 )$, т.е.  $x = 1,64848$…
 

1. Умножим выражение на $10^{n}$, где n – количество десятичных знаков в записи этой дроби до периода:

        $10 x = 16,4848 \ldots$ (1)

2.  Умножим полученное выражение на $10^{k}$, где k – количество цифр в периоде, т.е. в данном случае на 100: 

              $1000 x = 1648,48 \ldots$ (2) 

3. Вычтем из равенства (2) равенство (1):

       $_ 1000 x = 1648,48 \ldots$

        $10 x = 16,4848 \ldots$
 

            $990 x = 1632$
 

            $x = \frac{1632}{990} = \frac{272}{165} = 1 \frac{107}{165}$.
 

Итак, $1,6 ( 48 ) = 1 \frac{107}{165}$.
 

б) Пусть $x = 2 , ( 183 )$, т.е.  $x = 2,183183 \ldots$
 

1. Умножим выражение на $10^{k}$, где k – количество цифр в периоде, т.е. в данном случае на 1000: 

        $1000 x = 2183,183 \ldots$ (3) 

2. Вычтем из равенства (3) исходное выражение
 

           $_ 1000 x = 2183,183 \ldots$

                      $x = 2,183183 \ldots$
 

          $999 x = 2181$
 

         $x = \frac{2181}{999} = \frac{727}{333} = 2 \frac{61}{333}$.

Получили, $2 , ( 183 ) = 2 \frac{61}{333}$.

Ответ: а) $1 \frac{107}{165}$;       б) $2 \frac{61}{333}$.

Представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде  обыкновенной:

а) 0,(3);               б) 1,(65);               в) -8,12(4);                   г)16,1(382)

Итак:
 

1. Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
2. Множество Z целых чисел состоит из множества целых неотрицательных чисел и множества чисел, противоположных натуральным.
3. Множество Q рациональных чисел состоит из множества всех целых чисел и множества всех положительных и отрицательных дробей.
4. $N \subset Z \subset Q$.
5. Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное утверждение.

1. Множества каких чисел вам известны? Приведите примеры.
2. Что такое периодическая дробь? Как ее записать в виде обыкновенной дроби?
3. Приведите пример бесконечной периодической десятичной дроби с тремя цифрами в периоде.
4. Сколько рациональных чисел расположено в $[ 2,3 ; 2,4 \left]\right.$?