Конспект урока: Логарифмическая функция, её свойства и график

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения – множество всех положительных чисел (x>0). Следует из того, что выражение $y = \log_{a} x$ имеет смысл только при $x > 0$.

2. Множество значений – множество R всех действительных чисел. Следует из того, что уравнение $\log_{a} x = b$ имеет корень для любого действительного b и положительного x.

3. Функция не является ограниченной. Следует из предыдущего свойства.

4. Если a>1, то функция $y = \log_{a} x$ возрастает на промежутке $( 0 ; + \infty )$; если 
0 <  a < 1 , то она убывает на этом промежутке.

5. Если a > 1, то логарифмическая функция принимает положительные значения при x > 1 и отрицательные при $x \in ( 0 ; 1 ) .$ Если 0 <  a < 1, то она принимает положительные значения при $x \in ( 0 ; 1 ) ,$ а отрицательные при x > 1.

Кроме рассмотренных свойств логарифмической функции имеют место следующие утверждения, которые применяются при решении уравнений и неравенств с логарифмами:

У т в е р ж д е н и е 1.  Если a > 1 и  $\log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2}$, где $x_{1} , x_{2}$ - положительные числа, то $x_{1} < x_{2} .$ Если 0 <  a < 1 и $\log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2}$,  где $x_{1} , x_{2}$  - положительные числа, то $x_{1} > x_{2} .$

У т в е р ж д е н и е 2. Если $\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}$,  где $x_{1} , x_{2}$ - положительные числа, $a > 0 , a \neq 1 ,$ то $x_{1} = x_{2} .$

Иными словами: если основание логарифма больше 1, то при решении неравенства с логарифмами знак неравенства сохраняется, если основание находится в промежутке (0;1), то знак неравенства меняется на противоположный.

Графики логарифмической функции $y = \log_{a} x ,$ в зависимости от основания $a$ функции (см. Рис.1):

Рис. 1

По графику отметим, что ось 0y является вертикальной асимптотой. Кроме того, важно запомнить, что график любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0).

Покажем это на графиках при $a = 2 , a = \frac{1}{4}$(см. Рис. 2, Рис. 3).

Рис. 2                   Рис. 3

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция

а) $y = \log_{3,5} x ;$   б)$y = \log_{0,4} x .$

Решение

а) $y = \log_{3,5} x .$

Основание логарифмической функции a = 3,5 > 1, значит, по свойству 4 функция $y = \log_{3,5} x$ возрастающая.

б) $y = \log_{0,4} x .$

$a = 0,4 \in ( 0 ; 1 ) ,$ по тому же свойству 4 функция $y = \log_{0,4} x$ убывающая.

Ответ: а) возрастающая;   б) убывающая.

Сравнить числа:

a) $\log_{7} \frac{1}{4} \text{и} \log_{7} \frac{1}{7} ,$   б) $\log_{0,2} \frac{1}{2} \text{и} \log_{0,2} 0,4 .$

Решение

a) $\log_{7} \frac{1}{4} \text{и} \log_{7} \frac{1}{7} .$

Функция $y = \log_{7} x$ возрастающая, т.к. a = 7 > 0. Сравним аргументы функций:  $\frac{1}{4} > \frac{1}{7} ,$ тогда $\log_{7} \frac{1}{4} > \log_{7} \frac{1}{7}$ (следует из определения возрастающей функции).

б) $\log_{0,2} \frac{1}{2} \text{и} \log_{0,2} 0,4 .$

Функция $y = \log_{0,2} x$ убывающая, т.к. основание логарифма находится в промежутке $( 0 ; 1 ) , \frac{1}{2} > 0,4 ,$ тогда по определению убывающей функции $\log_{0,2} \frac{1}{2} < \log_{0,2} 0,4 .$

Ответ: а) $\log_{7} \frac{1}{4} > \log_{7} \frac{1}{7}$;   б) $\log_{0,2} \frac{1}{2} < \log_{0,2} 0,4 .$

Выяснить, положительным или отрицательным является число:
 

а)lg 0,2;    б)$\log_{\frac{1}{3}} 0,7$. 

Решение

а) lg 0,2.

Основание логарифма a = 10 > 1, число, стоящее под знаком логарифмической функции $0,2 \in ( 0 ; 1 ) .$ По свойству 5 функция y=lg x принимает отрицательное значение при x = 0,2, значит, lg 0,2 < 0. 

б) $\log_{\frac{1}{3}} 0,7$.

Согласно свойству 5 функция $\log_{\frac{1}{3}} x ( a = \frac{1}{3} , 0 < \frac{1}{3} < 1 )$ при x=0,7 (0 < 0,7 < 1) принимает положительные значения, значит $\log_{\frac{1}{3}} 0,7 > 0 .$

Ответ: а) lg 0,2 < 0;     б) $\log_{\frac{1}{3}} 0,7 > 0 .$

Сравнить числа: а)$\log_{7} \frac{4}{5} \text{и} \log_{7} \frac{6}{5} ;$    б)$2 \text{и} \log_{\frac{1}{2}} 0,05 .$

Определить знак числа: а) $\log_{3} 0,7 ;$    б)$\log_{4} 1,5 .$

Решить уравнение:
 

а) $\log_{6} \left(2 - 5 x\right) = \log_{6} 12 ;$

б) $\log_{\frac{1}{4}} \left(3 x + 4\right) = - 2 .$

Решение

а) $\log_{6} \left(2 - 5 x\right) = \log_{6} 12 .$

ОДЗ: $2 - 5 x > 0 , x < \frac{2}{5} .$

Согласно утверждению 2: 2 – 5x = 12, x=-2. Найденный корень принадлежит ОДЗ уравнения.

Ответ: -2.

б) $\log_{\frac{1}{4}} \left(3 x + 4\right) = - 2 .$

ОДЗ: $3 x + 4 > 0 , x > - \frac{4}{3} .$

Представим -2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{4} : - 2 = - 2 \times \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^{- 2} = \log_{\frac{1}{4}} 16 .$

Тогда по утверждению 2: 3x + 4 = 16, x=4. Корень принадлежит ОДЗ уравнения. 

Ответ: 4.

Решить неравенство:

а) $\log_{8} x < \frac{1}{3} ;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_{\frac{1}{3}} 5 .$

Решение

а) $\log_{8} x < \frac{1}{3} .$

ОДЗ: x > 0

Представим $\frac{1}{3}$ в виде логарифма по основанию 8:$\frac{1}{3} = \log_{8} 2 .$

Основание логарифма а = 8  > 0, тогда по утверждению 1: x < 2. После пересечения найденного множества решений с ОДЗ, получим $x \in ( 0 ; 2 ) .$

Ответ: $x \in ( 0 ; 2 ) .$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_{\frac{1}{3}} 5 .$

ОДЗ: x > 0.

Согласно утверждению 1: $x \leq 5 .$ После пересечения с ОДЗ получим $x \in ( 0 ; 5 \left]\right. .$

Ответ: $x \in ( 0 ; 5 \left]\right. .$

Решить уравнение
 

а) $\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{x}{16} - 1\right) = 2 ;$

б) $\ln ( 4 x + 3 ) = 0 .$

Решить неравенство:

а)$\log_{\text{п}} x \geq 1 ;$

б)$\log_{\frac{1}{64}} x > \frac{1}{2} .$

1. Как связаны между собой функции: $y = 3^{x } \text{и} y = \log_{3} x ; y = \log_{3} \text{хи} y = - \log_{3} x ; y = \log_{3} \text{хи} y = \log_{3} x + 5 ;$

$y = \log_{3} \text{хи} y = \log_{3} \left(x - 4\right) .$

2. Какое уравнение ассимптоты для графика функций 

$y = \log_{5} \left(x - 2\right) , y = \log_{5} x - 2 .$