- Введение понятия степенной функции
- Ограниченная функция
- Свойства степенной функции в зависимости от показателя степени
- Решение задач на применение свойств степенной функции
- Знать виды графиков степенной функции в зависимости от показателя степени, их свойства
- Уметь использовать свойства степенной функции при решении задач
С помощью графиков функций ответьте на вопросы:
- Какая область определения функции $y = f ( x )$?
- Какое множество значений функции $y = f ( x )$?
- Является ли функция четной? Нечетной?
- Найти промежутки возрастания, убывания функции.
- При каких значениях x функция принимает положительные значения? Отрицательные значения? Значение, равное 0?
- Найти значение функции при $x = 0 , x = 2$.
Рис. 1
Начиная с 7 класса, вы знакомились с различными видами функций:
$y = x , y = x^{2} , y = x^{3} , y = \frac{k}{x}$ и т.д. Все перечисленные функции являются частными случаями функции $y = x^{p} , \text{гдер} \in R$, которая называется степенной. Ее свойства зависят от свойств степени с действительным показателем, от того, при каких x, p имеет смысл $x^{p}$.
Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{f}} ( \mathbf{\mathit{x}} )$, определенная на множество Х, называется ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число С1, что для любого $\mathbf{\mathit{x}} \in \mathbf{\mathit{X}}$ выполняется неравенство $\mathbf{\mathit{f}} ( \mathbf{\mathit{x}} ) \geq \mathbf{\mathit{C}}_{1}$.
Можно сказать, что все точки графика функции $y = f ( x ) , x \in X$находятся выше прямой $y = C_{1}$ или на этой прямой (см. рис. 2, а).
Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{f}} ( \mathbf{\mathit{x}} )$, определенная на множество Х, называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует такое число С2, что для любого $\mathbf{\mathit{x}} \in \mathbf{\mathit{X}}$ выполняется неравенство $\mathbf{\mathit{f}} ( \mathbf{\mathit{x}} ) \leq \mathbf{\mathit{C}}_{2}$.
В этом случае все точки графика функции $y = f ( x ) , x \in X$ находятся ниже прямой $y = C_{2}$ или на этой прямой (см. рис. 2, б).
Рис. 2
Примерами функций, ограниченной снизу могут быть функции $y = x^{2}$, $y = \sqrt{x}$ ограниченной сверху - $y = - x^{2}$.
Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{f}} ( \mathbf{\mathit{x}} )$, определенная на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х, если она ограничена и сверху, и снизу, или, другими словами, когда существует такое число С, что для любого $\mathbf{\mathit{x}} \in \mathbf{\mathit{X}}$ выполняется неравенство $| \mathbf{\mathit{f}} ( \mathbf{\mathit{x}} ) | \leq \mathbf{\mathit{C}} .$
Пример ограниченных функций $y = \sin x , y = \cos x , y = \operatorname{arctg} x .$
Рассмотрим свойства степенной функции $y = x^{p}$ в зависимости от показателя степени p.
Таблица 1. Свойства степенной функции $y = x^{p} ( n \in N )$
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{5}$ на отрезке $[ - 2 ; 1 \left]\right.$.
Решение
Функция $y = x^{5}$ возрастает на всей своей области определения R, тогда наибольшее значение на отрезке $[ - 2 ; 1 \left]\right.$ она достигает в точке $x = 1$, а наименьшее в $x = - 2$.
$y_{\text{наиб}} = y ( 1 ) = 1 , y_{\text{наим}} = y ( - 2 ) = - 32$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 1 , y_{\text{наим}} = - 32$.
Пример 2
Среди функций $y = \sqrt[5]{x - 3} , y = x^{4} + 2 , y = \left( x - 2 \right)^{- 3} , y = \left( x - 3 \right)^{- \frac{2}{5}}$ выбрать ту, у которой множеством значений является множество всех действительных чисел кроме нуля.
Решение
$E ( \sqrt[5]{x - 3} ) = R . \\ E ( x^{4} + 2 ) = [ 2 ; + \infty )$
У функции $y = \left( x - 2 \right)^{- 3}$ множеством значений является множество всех действительных чисел кроме нуля, т.к. $- 3 < 0 , - 3$ – целое, нечетное.
$E ( \left( x - 3 \right)^{- \frac{2}{5}} ) = ( 0 ; + \infty )$
Ответ: $y = \left( x - 2 \right)^{- 3}$.
Пример 3
Какая из функций $y = x^{- 6}$ или $y = x^{3,3}$ возрастает на отрезке $\left[3 ; 7\right]$?
Решение
Отрезок $[ 3 ; 7 \left]\right.$ принадлежит лучу $x \geq 0$. Функция $y = x^{- 6}$ убывает в каждой точке этого луча, т.к. степень отрицательная, четная. Функция $y = x^{3,3}$ с положительной нечетной степенью возрастает везде на $x \geq 0$, значит, и на отрезке $[ 3 ; 7 \left]\right.$.
Ответ: $y = x^{3,3}$.
Упражнение 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{6}$ на отрезке $[ - 1 ; 2 \left]\right.$.
Упражнение 2
Найти область определения функций:
а) $y = \left( x^{4} - x^{2} \right)^{- 4}$
б) $y = \sqrt[7]{\left( 9 - x^{2} \right)^{5}}$
Упражнение 3
Какая из функций $y = x^{4} - 1$ или $y = 2 - x^{5}$ возрастает на отрезке $[ 1 ; 2 \left]\right.$?
Итак:
- Функция вида $y = x^{p} , \text{гдер} \in R$ называется степенной функцией.
2. Свойства степенной функции в зависимости от показателя степени можно увидеть в таблице.
Контрольные вопросы
- Какие из функций убывают, какие возрастают: $y = x^{\frac{1}{3}} , y = x^{\frac{5}{2}} , y = x^{\frac{3}{5}} , y = x^{- 9}$?
- Приведите пример функции, ограниченной снизу, ограниченной сверху.
Упражнение 1
$y_{\text{наиб}} = 64 , y_{\text{наим}} = 0$
Упражнение 2
а) $x \neq 0 , x \neq \pm 1$; б) $x \in R$.
Упражнение 3
$y = x^{4} - 1$
