Конспект урока: Показательная функция, её свойства и график

План урока

• Введение понятия показательной функции
• Формулировка свойств показательной функции
• Графики показательной функции в зависимости от основания степени а
• Решение задач с помощью графиков и свойств показательной функции

Цели урока

• Знать определение показательной функции, ее свойства.
• Уметь строить по точкам графики конкретных показательных функций, строить эскизы графика показательной функции в зависимости от основания степени а, использовать свойства показательной функции при решении задач

Разминка

1. Представьте в виде степени числа :

а) $a^{2} a^{- 8} a^{\frac{1}{4}}$;          б) $a^{4 \sqrt{3}} : a^{\sqrt{3}}$;                    в) $\frac{a^{\frac{2}{3}} a}{a^{\frac{1}{6}}}$.

2. Сравнить с единицей:

а) $1,2^{\sqrt{2}}$;       б) $0,6^{- 3}$.

 

3. С помощью графика (см. рис. 1) найдите: 
 

Рис. 1

1) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения;

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

3) промежутки возрастания, убывания функции;

4) координаты точек пересечения с осями координат. 

Вспомним свойства степени с действительным показателем.
 

Пусть $a > 0 , b > 0 , x , x_{1} , x_{2} \in R$. Тогда

1. $a^{x} > 0$
2. если $a > 1 , x > 0 , \text{тоа}^{x} > 1$
3. если $a > 1 , x_{1} < x_{2} , \text{тоа}^{x_{1}} < a^{x_{2}}$
4. если $0 < a < 1 , x_{1} < x_{2} , \text{тоа}^{x_{1}} > a^{x_{2}}$
5. $a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{x_{1} + x_{2}}$;
6. $a^{x_{1}} \div a^{x_{2}} = a^{x_{1} - x_{2}}$;
7. $\left( a^{x_{1}} \right)^{x_{2}} = a^{x_{1} x_{2}}$;
8. $\left( a b \right)^{x} = a^{x} b^{x}$;
9. $\left( \frac{a}{b} \right)^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$.

На практике мы часто сталкиваемся с функциями вида $y = a^{x} , a \in R , a > 0$, например, $y = 3^{x} , y = 0,5^{x} , y = \left( \frac{1}{5} \right)^{x}$. 

Такие функции называются показательными, где неизвестное – показатель степени.

Свойства показательной функции

1. Область определения – множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений – множество всех положительных чисел.
3. Показательная функция $y = a^{x}$ является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если $a > 1$, и убывающей, если $0 < a < 1$.

График показательной функции $y = a^{x}$ в зависимости от основания степени a (рис. 2): 

Рис. 2

С помощью графика функции $y = 2^{x}$ найти приближенное значение числа: 

           а) $\sqrt{2}$;                   б) $2^{- \frac{3}{2}}$;                   в) $2^{2,5}$.

Решение
 

Построим по точкам график функции $y = 2^{x}$ (рис. 3). 

Рис. 3

Рис. 4

а) $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$. Найдем значение функции при $x = \frac{1}{2} ; y \approx 1,4$:  (ордината точки А на рис. 4).

б) $2^{- \frac{3}{2}} \approx 0,4$ (ордината точки В на рис. 4).

в) $2^{2,5} \approx 5,7$ (ордината точки С на рис. 4).

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1,4$ б) $2^{- \frac{3}{2}} \approx 0,4$ в) $2^{2,5} \approx 5,7$

С помощью графика функции $y = 2^{x}$ найти приближенное значение числа: 

          а) $2^{0,6}$;                  б) $2^{- 1,2}$.

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

          а) $y = \left( 2 \frac{2}{3} \right)^{x}$;                  б) $y = 0,8^{x}$;                    в) $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{x}$.

Решение

а) $y = \left( 2 \frac{2}{3} \right)^{x}$. Так как $a = 2 \frac{2}{3} > 1$, то функция возрастающая.

б) $y = 0,8^{x}$. $a = 0,8 \in ( 0 ; 1 )$, значит, функция  убывающая.

в) $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{x}$. Так как $a = \frac{1}{3} \in ( 0 ; 1 )$, то функция  убывающая.

Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) убывающая.

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

          а) $y = 6,1^{x}$;                     б) $y = 0,12^{- x}$;                в) $y = \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^{x}$.

Сравнить $0,6^{- \sqrt{7}}$ с единицей.

Решение
 

Представим единицу в виде $1 = 0,6^{0}$. Основание степени $a = 0,6 \in ( 0 ; 1 )$, значит, функция $y = 0,6^{x}$ убывающая. Так как $- \sqrt{7} < 0$, то $0,6^{- \sqrt{7}} > 0,6^{0}$, т.е. $0,6^{- \sqrt{7}} > 1$.

Ответ: $0,6^{- \sqrt{7}} > 1$.

Сравнить числа:

          а) $6,3^{- 5} \text{и} 6,3^{- 4}$;             б) $\left( 1 \frac{1}{8} \right)^{- 7} \text{и} 1$;                 в) $\left(\frac{2}{3}\right)^{- 3} \text{и} \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Решить графически уравнение $\left( \frac{1}{5} \right)^{x} = 2 x + 1$.

Решение

Рис. 5

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = \left( \frac{1}{5} \right)^{x}$и $y = 2 x + 1$.

 

Графики функций пересекаются в точке А(0;1). Абсцисса этой точки x=0 и будет решением исходного уравнения.

Ответ: 0.

Пользуясь графиком, определите количество корней уравнения $2^{x} = 3 - x^{2}$.

Итак:
 

1. Показательная функция – функция вида $y = a^{x} , a > 0 , a \neq 1$.
2. Свойства показательной функции $y = a^{x}$:

• Область определения – множество всех действительных чисел ($x \in R$).
• Область значений – множество всех положительных чисел ($y > 0$).
• График функции проходит через точку (0;1).
• Функция возрастающая при $a > 1$, функция убывающая при $0 < a < 1$.

1. Приведите пример показательной функции.
2. Является ли функция $y = \left( - 3 \right)^{x}$ показательной? Почему?