- Динамика равномерного движения материальной точки по окружности
- Примеры решения задач
- знать направление и формулу мгновенной скорости при движении по окружности; направление и формулу центростремительного ускорения
- уметь находить линейную скорость и центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности; применять второй и третий законы Ньютона для решения задач на равномерное движение тела по окружности
- Как направлена мгновенная скорость тела, движущегося по окружности?
- Куда направлена сила трения, действующая на тело, движущееся по окружности?
- Как направлена равнодействующая сил тела, движущегося по окружности?
Динамика равномерного движения материальной точки по окружности
Вам уже известно, что материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью $v$, при этом направление вектора скорости постоянной меняется и в любой момент времени направлено по касательной к окружности, по которой движется тело (рис. 1).
Рис. 1. Направление скорости и ускорения тела, движущегося по окружности
Благодаря изменению направления вектора скорости $\overrightarrow{v}$ тело, движущееся по окружности, обладает центростремительным ускорением, которое в любой момент времени направлено к центру окружности и вычисляется по следующей формуле:
$a_{\text{ц}c} = \frac{v^{2}}{R} = \omega^{2} \cdot R$.
По второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение: $\overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}$.
Тогда сумма сил, действующих на движущееся по окружности тело, вычисляется по следующей формуле:
$\overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a_{\text{ц}c}}$.
В инерциальной системе отсчёта сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: $\overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a_{\text{ц}c}}$.
Из соотношения выше следует два важных вывода.
Во-первых, равнодействующая сил, действующих на тело, равномерно движущееся по окружности, в любой момент времени направлена к центру окружности.
Во-вторых, модуль суммы сил может быть рассчитан по следующим формулам:
$F = m \cdot a_{\text{ц}c} = \frac{m \cdot v^{2}}{R} = m \cdot \omega^{2} \cdot R$.
При решении задач на движение материальной точки по окружности рекомендуется придерживаться следующих правил:
- началом отсчёта является центр окружности;
- координатную ось проводят через начало отсчёта и точку на окружности, в которой в данный момент находится тело;
- положительное направление оси ОХ совпадает с направлением равнодействующей, то есть ось направлена к центру.
Такой выбор системы отсчёта не случаен: проекции центростремительного ускорения и суммы всех сил на ось ОХ в данном случае будут положительны, благодаря чему будет справедливо следующее равенство:
$F = F_{x} = m \cdot a_{\text{ц}c}$.
Проекции равнодействующей и ускорения на другие координатные оси в данной системе отсчёта будут равны нулю.
Примеры решения задач
Пример 1
Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью v = 72 км/ч, входит поворот так, что траектория его движения представляет собой дугу окружности радиусом R. При каком минимальном значении радиуса автомобиль не будет соскальзывать с дороги, если коэффициент трения автомобильных шин о дорогу 0,4?
Решение
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1
1. Автомобиль движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.
2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку А, в которой в начальный момент находится автомобиль (рис. 2). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.
На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для автомобиля:
$\overrightarrow{F_{\text{т}p}} + m \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N} = m \cdot \overrightarrow{a_{\text{ц}c}}$.
4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
$OX : F_{\text{т}p} = m \cdot a_{\text{ц}c}$;
$OY : N - m \cdot g = 0$.
5. По условию автомобиль не должен соскальзывать, тогда $F_{\text{тр}}$ — это сила трения покоя, поэтому её модуль $F_{\text{т}p} \leq \mu \cdot N$.
6. Формула для центростремительного ускорения:
$a_{\text{ц}c} = \frac{v^{2}}{R}$.
7. Объединяя пункты выше, получаем систему, состоящую из двух уравнений и одного неравенства:
$\begin{cases} F_{\text{тр}} = m \cdot \frac{v^{2}}{R} \\ N - m \cdot g = 0 \\ F_{\text{тр}} \leq \mu \cdot N \end{cases}$.
8. Решая систему, получаем
$m \cdot \frac{v^{2}}{R} \leq \mu \cdot m \cdot g$.
9. Выразим радиус $R$: $R \geq \frac{v^{2}}{\mu g}$. В задаче просят найти минимальное значение радиуса, тогда в последнем неравенстве следует положить знак «равно»:
$R = \frac{v^{2}}{\mu \cdot g} = \frac{20^{2}}{0,4 \cdot 10} = 100 \text{м}$.
Ответ: $R = 100 \text{м}$.
Пример 2
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2
Тело, подвешенное на нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 3). Найти силу натяжения нити и радиус окружности, по которой движется тело, если масса тела m = 200 г, скорость движения $v$ = 4 м/с, а угол $\alpha$ = 30°.
Решение
1. Тело движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.
Рис. 4. Силы, действующие на тело, вращающееся на нити
2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку, в которой в начальный момент находится рассматриваемое тело (рис. 4). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности, по которой вращается тело. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.
На тело действует сила натяжения нити и сила тяжести. В данном случае центростремительное ускорение является следствием действия равнодействующей $\overrightarrow{F}$ силы тяжести и силы натяжения нити.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$m \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T} = m \cdot \overrightarrow{a_{\text{ц}c}}$.
4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
$OX : \sin ( \alpha ) \cdot T = m \cdot a_{\text{ц}c}$;
$OY : \cos ( \alpha ) \cdot T - m \cdot g = 0$.
5. Запишем формулу центростремительного ускорения:
$a_{\text{ц}c} = \frac{v^{2}}{R}$.
С учётом формулы выше получаем следующую систему уравнений:
$\begin{cases} \sin ( \alpha ) \cdot T = m \cdot \frac{v^{2}}{R} \\ \cos ( \alpha ) \cdot T = m \cdot g \end{cases}$.
Из уравнения $\cos ( \alpha ) \cdot T - m \cdot g = 0$ находим силу натяжения нити:
$T = \frac{m \cdot g}{\cos ( \alpha )} = \frac{0,2 \cdot 10}{\cos ( 30^{\circ} )} \approx 2,3 H$.
Подставляем полученное значение в формулу $\sin ( \alpha ) \cdot T = m \cdot a_{\text{ц}c}$ и находим радиус окружности:
$R = \frac{m \cdot v^{2}}{\sin ( \alpha ) \cdot T} = \frac{0,2 \cdot 4^{2}}{\sin ( 30^{\circ} ) \cdot 2,3} \approx 2,8 \text{м}$.
Ответ: $T \approx 2,3 H$; $R \approx 2,8 \text{м}$.
Упражнение 1
1. С какой максимальной скоростью может ехать велосипедист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 45 м, если коэффициент трения резины о дорогу 0,5.
2. Автомобиль массой 1,5 т проезжает по выпуклому мосту радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. Найти вес автомобиля в наивысшей точке моста.
Упражнение 1
1. $v$ = 15 м/с
2. Р = 12 кН
