- Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
- Примеры решения задач
- знать алгоритм решения задач на движение взаимодействующих тел
- уметь решать задачи на движение взаимодействующих тел
- Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
- Как направлена сила трения?
- Как направлена сила натяжения нити?
Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
Решение задач о движении взаимодействующих тел схоже с решением задач о движении под действием нескольких сил, рассмотренным в предыдущем параграфе.
Но в данном случае второй закон Ньютона необходимо записывать для каждого тела, участвующего во взаимодействии.
Помимо этого, добавляется новый пункт, в котором следует записать третий закон Ньютона для рассматриваемых в задаче тел.
Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел выглядит следующим образом:
1. Определить, является ли движение рассматриваемых тел поступательным, ответить на вопрос: «Можно ли принять их за материальные точки?»
2. Выбрать инерциальную систему отсчёта. Сделать чертёж с изображением всех сил, действующих на тела, участвующие во взаимодействии.
3. Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого тела.
4. Записать второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для каждого тела.
5. Записать третий закон Ньютона. Решение системы уравнений.
Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.
В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, возникающая в нерастяжимой нити, называется силой натяжения нити и обозначается $\overrightarrow{T}$.
Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F
Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).
В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой $\overrightarrow{T_{1}}$. По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с такой силой $\overrightarrow{T}$, что $\overrightarrow{T} = - \overrightarrow{T_{1}}$.
Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой $\overrightarrow{T_{2}}$, брусок действует на нить с такой силой $\overrightarrow{T} '$, что $\overrightarrow{T} ' = - \overrightarrow{T_{2}}$.
Таким образом, силы $\overrightarrow{T}$ и $\overrightarrow{T} '$ действуют на нить, а силы $\overrightarrow{T_{1}}$ и $\overrightarrow{T_{2}}$ — на связанные бруски.
Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:
1) $\left|\overrightarrow{T}\right| = \left|\overrightarrow{T} '\right|$.
Так как $\overrightarrow{T} = - \overrightarrow{T_{1}}$ и $\overrightarrow{T} ' = - \overrightarrow{T_{2}}$, справедливо будет записать следующее равенство:
2) $\left|\overrightarrow{T}\right| = \left|\overrightarrow{T_{1}}\right| = \left|\overrightarrow{T} '\right| = \left|\overrightarrow{T_{2}}\right|$.
При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы $\overrightarrow{T}$ и $\overrightarrow{T} '$, возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).
Примеры решения задач
Пример 1
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1
На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 2). Коэффициент трения между брусками равен 0,6. Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m1, чтобы брусок массой m2 начал по нему скользить. Массы брусков равны m1 = 10 кг и m2 = 4 кг.
Решение
1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
Рис. 3. Силы, действующие на бруски
2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, на которой лежат бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков.
В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению $\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}}$ и $\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}}$.
На брусок массой m1 действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m2.
На брусок массой m2 действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
$\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}} + m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N_{1}} + \overrightarrow{F} + \overrightarrow{P} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;
$\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}} + m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{N_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю.
$OX : F - F_{\text{т}p 1} = m_{1} \cdot a$;
$OY : N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0$;
$OX : F_{\text{т}p 2} = m_{2} \cdot a$;
$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$.
5. Согласно третьему закону Ньютона, силы $\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}}$ и $\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:
$F_{\text{т}p 1} = F_{\text{т}p 2} = F_{\text{т}p}$.
Следует понимать, что в данном случае $F_{\text{т}p 1}$ не зависит от $N_{1}$, так как данная сила возникает не из-за трения тела m1 о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому $F_{\text{т}p 1}$ определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок $N_{2}$.
Аналогичные рассуждения применимы к паре сил $\overrightarrow{P}$ и $\overrightarrow{N_{2}}$, по третьему закону Ньютона они равны по модулю:
$P = N_{2}$.
6. Запишем формулу силы трения:
$F_{\text{т}p} = \mu \cdot N_{2}$.
Сведём все полученные соотношения в следующую систему уравнений:
$\begin{cases} F - \mu \cdot N_{2} = m_{1} \cdot a \\ N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0 \\ \mu \cdot N_{2} = m_{2} \cdot a \\ N_{2} - m_{2} \cdot g = 0 \\ P = N_{2} \end{cases}$.
Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
$F = \mu \cdot g \cdot ( m_{1} + m_{2} ) = 0,6 \cdot 10 \cdot ( 10 + 4 ) = 84 H$.
Ответ: $F = 84 H$.
Пример 2
Через неподвижный невесомый блок перекинута лёгкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m1 = 2 кг и m2 = 8 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.
Решение
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2
1. После того как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплён блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m2 тяжелее, система будет двигаться в направлении силы $m_{2} \cdot \overrightarrow{g}$ (рис. 4). Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
$m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{1}} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;
$m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
Заметим, что в записанных законах Ньютона ускорения для обоих тел одинаковы по модулю. Это следует из условия нерастяжимости нити.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.
Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.
$O Y : m_{1} \cdot g - T_{1} = - m_{1} \cdot a$;
$OY : m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$.
5. Как мы уже знаем, при движении тел, связанных невесомой нитью, силы натяжения нити Т1 и Т2, приложенные к телам, равны по модулю:
$T_{1} = T_{2} = T$.
6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:
$\begin{cases} m_{1} \cdot g - T = - m_{1} \cdot a \\ m_{2} \cdot g - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$
$a = \frac{m_{1} \cdot g - m_{2} \cdot g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{2 \cdot 10 - 8 \cdot 10}{- 2 - 8} = 6 \text{м} / c^{2}$.
Ответ: $a = 6 \text{м} / c^{2}$.
Пример 3
К одному концу нерастяжимой верёвки массой 0,2 кг привязывают груз массой 3 кг. Верёвку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 60 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы веревки.
Решение
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3
1. Верёвка по условию задачи нерастяжима. Примем, что груз и верёвка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения системы — в направлении действия силы $\overrightarrow{F}$(рис. 5). Обозначим массу груза m2, массу верёвки m1.
К верхнему концу верёвки, к точке А, по условию приложена сила $\overrightarrow{F}$, в этой точке возникает сила упругости $\overrightarrow{T_{1}}$, действующая на источник силы $\overrightarrow{F}$ (например, на руку человека, который тянет верёвку).
В месте крепления груза, в точке В, на верёвку действует вес груза $\overrightarrow{P}$, в результате в этой точке возникает сила упругости $\overrightarrow{T_{2}}$, действующая на груз.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для верёвки и для груза:
$\overrightarrow{F} + m_{1} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{P} = m_{1} \cdot \overrightarrow{a}$;
$m_{2} \cdot \overrightarrow{g} + \overrightarrow{T_{2}} = m_{2} \cdot \overrightarrow{a}$.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:
$O Y : F - m_{1} \cdot g - P = m_{1} \cdot a$;
$OY : T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$.
5. По третьему закону Ньютона силы $\overrightarrow{T_{2}}$ и $\overrightarrow{P}$ равны по модулю и противоположны по направлению:
$\left|\overrightarrow{P}\right| = \left|\overrightarrow{T_{2}}\right|$.
6. Решаем полученную систему с учётом соотношения:
$\begin{cases} F - m_{1} \cdot g - T_{2} = m_{1} \cdot a \\ T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a \end{cases}$
$a = \frac{F - g \cdot ( m_{1} + m_{2} )}{m_{1} + m_{2}} = \frac{60 - 10 \cdot ( 0,2 + 3 )}{0,2 + 3} = 8,75 \text{м} / c^{2}$.
Из уравнения $T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ найдём T2:
$T_{2} = m_{2} \cdot g + m_{2} \cdot a = 56,25 H$.
Наконец, найдём значение силы Т1: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой верёвку тянут вверх:
$T_{1} = F = 60 H$.
Ответ: $a = 8,75 \text{м} / c^{2}$; $T_{1} = 60 H$; $T_{2} = 56,25 H$.
Упражнение 1
1. Два бруска массами m1 = 2 кг и m2 = 5 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m2 начинает действовать сила F = 40 Н, в результате чего бруски совершают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.
2. На наклонной плоскости длиной 10 м и высотой 8 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз вверх с ускорением 2 м/с2? Коэффициент трения 0,5.
3. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 400 и 1 000 г. Какова сила натяжения нити во время движения?
Контрольные вопросы
1. Как выглядит алгоритм для решения задач о движении взаимодействующих тел?
2. Что значит, что нить нерастяжима?
3. Какие силы возникают в нити при движении двух тел, связанных этой нитью?
4. В каких случаях силы упругости, возникающие в нити, могут иметь различные значения?
Упражнение 1
1. a = 1,7 м/с2
2. F = 650 Н
3. Т = 5,7 Н
