- Параллельные прямые в пространстве
- Параллельность трех прямых
- Параллельность прямой и плоскости
- Знать определение параллельных прямых в пространстве
- Знать определение параллельных прямой и плоскости
- Знать формулировки теорем о параллельных прямых и уметь их доказывать
- Знать формулировку признака параллельности прямой и плоскости и уметь его доказывать
- Уметь решать задачи с применением определений и теорем о параллельности прямых, прямой и плоскости
- Какие прямые называются параллельными на плоскости?
- Сформулируйте известные вам свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей
- Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, если прямая не лежит в данной плоскости?
Рис. 1
Параллельные прямые в пространстве
Как вы помните из курса планиметрии, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. В пространстве же встречаются непересекающиеся прямые, которые совсем не обладают свойствами параллельных прямых. Например, на изображённом параллелепипеде (рис.1) прямые $m$ и $p$ не пересекаются, но и параллельными не являются. Поэтому в курсе стереометрии необходимо уточнить определение параллельных прямых.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Рис. 2
Параллельность прямых $m$ и $n$ обозначается так: $m | | n$.
На рисунке 2 прямые $m$ и $n$ параллельны, а прямые $a$ и $m$, $a$ и $n$, $a$ и $b$ не параллельны.
Обратите внимание, что в стереометрии если прямые не пересекаются, то это ещё не означает, что они параллельны.
А также если прямые не параллельны, то это ещё не означает, что они пересекаются.
Докажем следующую теорему о параллельных прямых.
Теорема 1
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Доказательство
Рис. 3
Пусть дана прямая $a$ и точка M, не принадлежащая ей.
1) Через прямую $a$ и точку M проходит единственная плоскость (по теореме, доказанной ранее). Обозначим эту плоскость $\alpha$ (рис. 3). В этой плоскости $\alpha$ через точку M можно провести единственную прямую $b$, параллельную прямой $a$ (это известно из курса планиметрии). Таким образом, доказано, что существует прямая $b$, проходящая через точку M параллельно прямой $a$.
2) Так как плоскость $\alpha$ – единственная плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку M, а в этой плоскости прямая $b$ – единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой $a$, то в пространстве $b$ также единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой $a$.
Теорема доказана.
Два отрезка в пространстве называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой.
Пример 1
Докажите, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости.
Доказательство
Рис. 4
Так как данные прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 4). Обозначим её $\beta$. Прямая $c$, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью $\beta$ две общие точки – точки пересечения M и N с прямыми $a$ и $b$ соответственно. Поскольку M и N лежат в плоскости $\beta$, то и прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$. Аналогично, можно провести сколь угодно много прямых, пересекающих прямые $a$ и $b$, которые будут лежать в плоскости $\beta$.
Упражнение 1
- Известно, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Можно ли утверждать, что они параллельны? Почему?
- Известно, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Можно ли утверждать, что они пересекаются? Почему?
- Через точку M, не лежащую на прямой $a$, провели прямую $b$, параллельную прямой $a$. На прямой $b$ отметили точку N, отличную от точки M. Через точку N, провели ещё одну прямую $c$, параллельную прямой $a$. Что можно сказать о взаимном расположении прямых $b$ и $c$?
Параллельность трех прямых
Из курса планиметрии вы знаете, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они все параллельны между собой. Однако в планиметрии предполагалось, что все три прямые лежат в одной плоскости. Теперь докажем справедливость этого утверждения и для случая, когда наши прямые не лежат в одной плоскости.
Для этого нам потребуется сначала доказать одну вспомогательную теорему (лемму).
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Доказательство
Рис. 5
Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке M.
Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$ (рис. 5). Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке M, то это означает, что M является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Обозначим эту прямую буквой $p$. Прямая $p$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает прямую $a$, значит пересекает и параллельную ей прямую $b$ в некоторой точке N. Прямая $p$ лежит и в плоскости $\alpha$. Следовательно точка N тоже лежит в плоскости $\alpha$. Мы пришли к тому, что N – общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$.
(При этом прямая $b$ не имеет других общих точек с плоскостью $\alpha$, так как в этом случае прямая $b$ была бы общей прямой плоскостей $\alpha$ и $\beta$, т.е. совпадала бы с прямой $p$, а это невозможно.)
Мы пришли к тому, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.
Лемма доказана.
Теперь перейдём к доказательству теоремы о параллельности трёх прямых для случая, когда три прямые не лежат в одной плоскости.
Теорема 2
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство
Рис. 6
Пусть $a | | c$, $b | | c$.
Докажем сначала, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.
Отметим на прямой $b$ произвольную точку N. Обозначим буквой $\alpha$ плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку N. Прямая $b$ лежит в этой же плоскости. В самом деле, если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то по доказанной лемме прямая $c$также пересекала бы плоскость $\alpha$ (так как $b | | c$), а значит и прямая $a$ пересекала бы плоскость $\alpha$ (так как $c | | a$). Но это невозможно, поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
Докажем теперь, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются.
Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые ($a$ и $b$), параллельные прямой $c$, а это невозможно.
Мы доказали, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это означает, что они параллельны.
Теорема доказана
Упражнение 2
- Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Как расположена прямая, параллельная отрезку CD, по отношению к плоскостям ABC и ABD? Ответ обоснуйте.
- Докажите, что середины пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырёхугольника не лежат в одной плоскости).
Параллельность прямой и плоскости
Рис. 7
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости (рис. 7):
- прямая лежит в плоскости
($a \subset \alpha$); - прямая и плоскость пересекаются $( b \cap \alpha )$);
- прямая и плоскость не имеют общих точек.
Определение
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Параллельность прямой $c$ плоскости $\alpha$ обозначается так: $c | | \alpha$.
Для доказательства параллельности прямой и плоскости удобно пользоваться специальной теоремой – признаком параллельности прямой и плоскости.
Теорема 3 (признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство
Рис. 8
Пусть $a \not\subset \alpha , b \subset \alpha , a | | b$.
Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$.
В таком случае прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $b$ также пересекает плоскость $\alpha$. Но это противоречит тому, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, предположение, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$, неверно. Значит прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
Теорема доказана.
При решении задач часто используются следующие два утверждения, которые являются прямыми следствиями признака параллельности прямой и плоскости.
Рис. 9. К следствию 1
Следствие 1
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
Cледствие 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Пример 2
Точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости $\alpha$.
Рис. 10
Дано:
$A , B \in \alpha$
$C \notin \alpha$
$M$ – середина $A C$
$N$ – середина $B C$
_______________________
Доказать:
$M N | | \alpha$
Доказательство
Рассмотрим треугольник $A B C$, $M N$ – средняя линия (по определению) $\Rightarrow M N | | A B$. При этом $A B \subset \alpha$. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости прямая MN параллельна плоскости $\alpha$.
Пример 3
Сторона DM треугольника ADM параллельна плоскости $\beta$, стороны DA и MA пересекают $\beta$ в точках F и E соответственно. Докажите, что треугольники ADM и AFE подобны.
Рис. 11
Дано:
$D M | | \beta$
$D A \cap \beta = F , M A \cap \beta = E$
___________________________________
Доказать: $\Delta A D M \sim \Delta A F E$
Доказательство
$D M \subset ( A D M ) , D M | | \beta , ( A D M ) \cap \beta = F E$ $\Rightarrow$ $D M | | F E$.
В плоскости $A D M$ рассмотрим $\Delta A D M$ и $\Delta A F E$. У них $\angle A -$ общий, $\angle A D M = \angle A F E$ как соответственные при пересечении параллельных прямых $D M$ и $F E$ секущей $A D$. Тогда по признаку подобия треугольников (по двум углам) $\Delta A D M \sim \Delta A F E$. Что и требовалось доказать.
Контрольные вопросы
1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?
2. Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?
3. Что значит «прямая и плоскость параллельны»?
4. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
Упражнение 1
- Нет, так как не известно лежат ли прямые в одной плоскости.
- Нет, так как они могут быть в разных плоскостях.
- Прямые $b$ и $c$ совпадают.
Упражнение 2
1. Прямая, параллельная отрезку CD, пересекает как плоскость ABC, так и плоскость ABD. Объясняется это тем, что прямая CD пересекает данные плоскости, а если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (лемма).
Рис. 12
2. Пусть ABCD – данный пространственный четырёхугольник (рис. 12).
Пусть $M_{1} , M_{2} , M_{3} , M_{4}$ – середины его сторон.
Тогда $M_{1} M_{2}$ – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC; $M_{3} M_{4}$ – средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне AC. По теореме о параллельности трёх прямых $M_{1} M_{2}$ и $M_{3} M_{4}$ параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно также доказывается параллельность прямых $M_{1} M_{4}$ и $M_{2} M_{3}$. Таким образом, четырёхугольник $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}$ лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.
