Конспект урока: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Рис. 1.

Таким образом, перпендикулярные прямые могут пересекаться (прямые $a$ и $b$ на рис. 1), но могут быть и скрещивающимися (прямые $a$ и $c$ на рис. 1). Перпендикулярность прямых, изображённых на рисунке можно записать так: $a \bot b$, $a \bot c$.

Сформулируем и докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Рис. 2.

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямые $a$ и $c$ перпендикулярны (рис. 2 а). Другими словами, угол между прямыми $a$ и $c$ равен $90^{\circ}$. 

Докажем, что прямые $b$ и $c$ тоже перпендикулярны.

Отметим на прямой $c$ некоторую точку $M$. Через эту точку проведём прямую $d$, параллельную прямой $a$ (рис. 2б). Угол между прямыми $d$ и $c$ равен углу между прямыми $a$ и $c$. Значит, угол между прямыми $d$ и $c$ равен $90^{\circ} .$ Так как $b \parallel a$ и  
$a \parallel d$, то $b \parallel d$.

Следовательно, угол между прямыми $b$ и $c$ равен углу между прямыми $d$ и $c$. Таким образом, угол между прямыми $b$ и $c$ тоже равен $90^{\circ}$, то есть прямые $b$ и $c$ перпендикулярны. 

Лемма доказана.

Рис. 3.

Доказательство

Так как $M$, $N$ – середины рёбер $A B$ и $A C$ (рис. 3), то $M N$ – средняя линия треугольника $A B C$. Следовательно, $M N \parallel B C$.

По условию $B C \bot S A$. Тогда, по доказанной лемме, $M N \bot S A$. Что и требовалось доказать.

Рис. 4.

Очевидно, что прямая, перпендикулярная к некоторой плоскости, пересекает её. Действительно, если прямая $a$ не пересекала бы плоскость $\alpha$, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. В таком случае в плоскости $\alpha$ имелись бы прямые не перпендикулярные к прямой $a$. Это противоречит тому, что прямая a и плоскость $\alpha$ перпендикулярны. На рисунке 4 показана прямая $a$, перпендикулярная ей плоскость $\alpha$ и несколько прямых, лежащих в этой плоскости. Прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих прямых, как и любой прямой в плоскости $\alpha$.

Рис. 5. К теореме 1

Доказательство

Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $a$ (рис. 5). Докажем, что и прямая $b$ тоже перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Проведём в плоскости $\alpha$ какую-нибудь прямую $m$.

Так как $a \bot \alpha$, то $a \bot m$. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей $b \bot m$. Так как прямая $m$ была выбрана в плоскости $\alpha$ произвольно, то это означает, что прямая $b$ перпендикулярна к любой прямой в плоскости $\alpha$.  Следовательно, $b \bot \alpha$.

Теорема доказана.

Рис. 6.

Рассмотрим прямые $a$ и $b$, перпендикулярные к плоскости $\alpha$ (рис. 6). Докажем, что $a \parallel b$. Через произвольную точку $M$, лежащую на прямой $b$, проведём прямую $b_{1}$, параллельную прямой $a$ (рис. 6). Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то и проведённая прямая $b_{1}$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ (Теорема 1). Докажем, что прямая $b_{1}$ совпадает с прямой b. Предположим, что прямые $b_{1}$ и $b$ не совпадают. Обозначим плоскость, проходящую через прямые $b$ и $b_{1}$ буквой $\beta$. Таким образом, в плоскости $\beta$ через точку $M$ проходят две прямые, перпендикулярные к прямой $c$, по которой пересекаются плоскости $\alpha$ и $\beta$. Это невозможно. Следовательно, предположение, что $b$ и $b_{1}$ не совпадают, неверно. А так как $b$ и $b_{1}$ совпадают, то $a \parallel b$. Теорема доказана.

Рис. 7.

1) Рассмотрим сначала случай, когда прямая $a$ проходит через точку $O$ (рис. 7). Проведём через точку $O$ прямую $l$, параллельную прямой $m$. Отметим на прямой $a$ точки $A$ и $B$ так, чтобы точка $O$ делила отрезок $A B$ пополам. Проведём в плоскости $\alpha$ прямую, пересекающую прямые $p$, $q$ и $l$ соответственно в точках $P$, $Q$ и $L$.

Так как точка $O$ – середина отрезка $A B$, то прямые $p$ и $q$ являются серединными перпендикулярами к отрезку $A B$.

Следовательно, $A P = B P$ и $A Q = B Q$. Таким образом, треугольники $A P Q$ и $B P Q$ равны по трём сторонам. Поэтому равны углы $A P Q$ и $B P Q$.

Рассмотрим треугольники $A P L$ и $B P L$. У них $A P = B P$, $P L$ – общая сторона, углы $A P L$ и $B P L$ равны (было показано равенство углов $A P Q$ и $B P Q$, которые являются соответственно углами $A P L$ и $B P L$). Поэтому треугольники $A P L$ и $B P L$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников $A P L$ и $B P L$ вытекает равенство отрезков $A L$ и $B L$. Это означает, что треугольник $A B L$ равнобедренный, а его медиана $L O$ является высотой. Следовательно, $l \bot a$. Так как прямые $m$ и $l$ параллельны, то по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей, $m \bot a$. Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна к любой прямой плоскости $\alpha$, т. е. прямая $a$ перпендикулярна к плоскости $\alpha$.

Рис. 8.

2) В том случае если прямая $a$ не проходит через точку $O$, можно провести через точку $O$ прямую $b$, параллельную прямой $a$ (рис. 8). Прямая $b$, согласно лемме, перпендикулярна прямым $p$ и $q$, а по доказанному в первом случае, прямая $b$ перпендикулярна к плоскости $\alpha$. Отсюда следует, что и прямая $a$ перпендикулярна к плоскости $\alpha$. 

Теорема доказана.

Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Рис. 9.

Рассмотрим произвольную плоскость $\alpha$ и точку M. Докажем, что:

1) через точку M проходит прямая, перпендикулярная к плоскости $\alpha$;

2) такая прямая единственная.

1) Проведём в плоскости $\alpha$ произвольную прямую $a$ и рассмотрим плоскость $\beta$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную к прямой $a$ (Рис. 9). Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $b$. В плоскости $\beta$ через точку $M$ проведём прямую $c$, перпендикулярную к прямой $b$. 

$c \bot b$ по построению;

$c \bot a$, так как $\beta \bot a$.

Так как прямая c перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$, то прямая c перпендикулярна к плоскости $\alpha$.

2) Если через точку $M$ проходит ещё одна некоторая прямая $d$, перпендикулярная к плоскости $\alpha$, то $c \parallel d$ (Теорема 2), а это невозможно, так как прямые $c$ и $d$ пересекаются в точке $M$. Значит, $c$ – единственная прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная к плоскости $\alpha$. 

Теорема доказана.