Конспект урока: Угол между прямой и плоскостью

Рис. 1.

На рисунке 1 точка $A_{1}$ – проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$, а точка $B$, которая лежит в плоскости $\alpha$ – проекция самой точки $B$ на эту плоскость.

Рис. 2.

Чтобы построить проекцию прямой $a$ на плоскость $\alpha$, не перпендикулярную к этой прямой, надо взять две произвольные точки $M_{1}$ и $M_{2} ,$ лежащие на прямой $a$ и найти их проекции $H_{1}$ и $H_{2}$ на плоскость $\alpha$. Тогда проекцией прямой a на плоскость $\alpha$ является прямая $a_{1}$ проходящая через точки $H_{1}$ и $H_{2}$ (рис. 2). Проекцией отрезка MN на плоскость, не перпендикулярную к нему, является отрезок, концы которого – проекции точек M и N на эту плоскость.

Дадим теперь определение угла между прямой и плоскостью.

Рис. 3.

На рисунке 3 показана прямая $a$, пересекающая плоскость $\alpha$ и проекция $a_{1}$ этой прямой на данную плоскость. Угол $\varphi$ между прямой $a$ и проекцией $a_{1}$ есть угол между прямой $a$ и плоскостью $\alpha$.

В случае, если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость будет точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается прямым и равен $90^{\circ}$.

Рис. 4.

Решение

Опустим перпендикуляр $A A_{1}$ на плоскость $\alpha$ (рис. 4). В таком случае $A B$ - наклонная к плоскости, $A_{1} B$ - её проекция на плоскость, а $\varphi$ - угол между прямой $A B$ и плоскостью $\alpha .$ Получили треугольник $A A_{1} B$ с прямым углом при вершине $A_{1}$, где острый угол этого треугольника, противолежащий катету $A A_{1}$, равен $30^{\circ}$. Следовательно, $A B = 2 \cdot A A_{1} = 2 \cdot 8 = 16 \text{см}$.

Ответ: 16 см.

Рис. 5.

Решение

Обозначим концы данного отрезка буквами $A$ и $B$, плоскость – буквой $\alpha$, точку пересечения отрезка $A B$ с плоскостью $\alpha$ буквой $O$, а проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$ буквами соответственно $A_{1}$ и $B_{1}$ (рис. 5).

Углом между отрезком $A B$ и плоскостью $\alpha$ является угол $A O A_{1}$.

По условию задачи $A B = 10 \text{м}$, расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны соответственно 2 м и 3 м. Значит $A A_{1} = 2 \text{м}$, $B B_{1} = 3 \text{м}$.

Треугольники $A A_{1} O$ и $B B_{1} O$ подобны, так как $\angle A A_{1} O = \angle B B_{1} O$ (прямые) и $\angle A O A_{1} = \angle B O B_{1}$ (вертикальные).

Из подобия треугольников следует $\frac{A O}{B O} = \frac{A A_{1}}{B B_{1}}$.

Рис. 6.

Решение

Пусть катет $A C$ прямоугольного треугольника $A B C$ с прямым углом $C$ лежит в плоскости $\alpha$ (рис. 6). По условию задачи катеты $A C$ и $B C$ равны. Катет $B C$ наклонён к плоскости $\alpha$ под углом в $45^{\circ}$. Проведём перпендикуляр $B H$ к плоскости. Получим еще один прямоугольный треугольник $B H C$ с прямым углом при вершине $H$. Так как $\angle B C H = 45^{\circ}$, то и $\angle C B H = 45^{\circ}$. Следовательно, треугольник $B H C$ равнобедренный. Обозначим $C H = B H = a$.

Тогда $B C = \sqrt{C H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2}} = \sqrt{2} a \Rightarrow A C = \sqrt{2} a \Rightarrow A B $ $= \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{\left(\sqrt{2} a\right)^{2} + \left(\sqrt{2} a\right)^{2}} = \sqrt{4 a^{2}} = 2 a$. 

Углом между гипотенузой $A B$ и плоскостью $\alpha$ является угол $B A H$.

$\sin \angle B A H = \frac{B H}{A B} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle B A H = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.